Стоячие волны

9-й класс. Углубленный курс

Приложения теории стоячих волн

Если камертон установить на ящик, закрытый с одного конца, причем длина ящика составит четверть длины волны, излучаемой камертоном, то в воздушном столбе внутри ящика образуется стоячая волна. Поскольку собственная частота этого столба равна частоте камертона, то наступит резонанс, и звук усилится. Понятно, что камертоны разного тона должны иметь резонаторные ящики разных размеров.

Роль резонаторов играют корпуса всех струнных музыкальных инструментов (гитары, скрипки, рояля и т.п.). Почему же резонатор камертона – простой ящик, тогда как корпуса даже балалайки, не говоря о виолончели, скрипки, рояле, имеют сложные формы? Да потому, что резонатор камертона должен усиливать только один, основной тон, а корпуса музыкальных инструментов - множество тонов и гармоник. Отметим, что изменение любой детали в архитектуре, например, скрипки, обязательно приведет к изменению характера ее звучания, ее, как говорят, тембра. Полный и точный расчет оптимальной формы музыкального инструмента пока выходит за пределы возможностей современной науки из-за необычайной сложности. И в настоящее время создание инструмента – это скорее искусство, чем техника, это итог творчества мастера, интуитивно придающего нужный облик своему творению. Поэтому до сих пор остаются непревзойденными шедевры гениальных кремонцев Амати, Гварнери, Страдивари.

Р’РёРґ резонатора определяет, какие РёР· обертонов Р±СѓРґСѓС‚ усилены («подчеркнуты» РІ звучании), Р° какие ослаблены или РІРѕРІСЃРµ подавлены. Именно это отличает Р·РІСѓРє РѕРґРЅРѕРіРѕ музыкального инструмента РѕС‚ РґСЂСѓРіРѕРіРѕ, даже если РѕРЅРё звучат РЅР° РѕРґРЅРѕР№ ноте, Рё такая индивидуальность РІ окраске звучания инструмента называется тембром (магнитофонная запись тембров разных инструментов). Например, соль диез большой октавы рояля Рё кларнета имеют РѕРґРЅСѓ общую характеристику: частота РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРіРѕ тона n = 104 Гц. Рђ РІРѕС‚ обертонов РІ звуках этих инструментов – разное количество, различно Рё отношение амплитуд обертонов Рє амплитуде РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРіРѕ тона (демонстрация через эпипроектор СЂРёСЃ. 38 РёР· учебника Р“.РЎ.Ландсберга). Вообще, чем больше РІ Р·РІСѓРєРµ обертонов, тем РѕРЅ кажется богаче, благороднее, тем сильнее его график отличается РѕС‚ простой СЃРёРЅСѓСЃРѕРёРґС‹. (Гельмгольц РіРѕРІРѕСЂРёР», что Р·РІСѓРє камертона чист Рё прозрачен, как дистиллированная РІРѕРґР°, РЅРѕ так же безвкусен). Правда, есть некоторое ограничение: Р·РІСѓРє, РІ состав которого РІС…РѕРґСЏС‚ континуально РІСЃРµ частоты, воспринимается нами как шум. Для СѓС…Р° человека важно соотношение частот. Так, очень приятно для слуха звучит музыкально двухзвучие (интервал), характеризуемый отношением частот   Такой интервал Р·РѕРІСѓС‚ октавой. Неплохо звучат интервалы квинта   кварта   большая терция большая секста   Самым диссонирующим, режущим слух является секунда Из этих примеров РІРёРґРЅРѕ, что музыкальным будет Р·РІСѓРє, РІ составе которого РјРЅРѕРіРѕ обертонов, Р° РёС… частоты составляют простые отношения.

Представление сложного колебания как суммы его основного тона и обертонов (или гармоник) называется его спектральным разложением, а совокупность частот, входящих в него, – его спектром. Заметим, что Фурье показал возможность представить любой периодический процесс как результат сложения конечного числа гармонических процессов с соответственно подобранными частотами, амплитудами и начальными фазами, а непериодический процесс как сумму бесконечного числа гармонических процессов с соответственно подобранными частотами, амплитудами и начальными фазами.

Применяя теорию стоячих волн, объясним принцип действия музыкальных духовых инструментов и голосового аппарата человека.

Любой РґСѓС…РѕРІРѕР№ инструмент состоит РёР· РґРІСѓС… элементов: генератора шума (источника Р·РІСѓРєР°, излучающего Р·РІСѓРєРё всех частот) Рё резонатора РІ РІРёРґРµ столба РІРѕР·РґСѓС…Р°, находящегося внутри трубы. Генератором шума служит мундштук, трость Рё С‚.Рї., помещенные РІ закрытом конце трубы. Из всего множества Р·РІСѓРєРѕРІ разных частот, издаваемых генератором шума, резонатор усиливает те, которые удовлетворяют условиям возникновения стоячих волн, Рё подавляет РІСЃРµ остальные. Если музыкант желает извлечь Р·РІСѓРє РґСЂСѓРіРѕРіРѕ тона (сыграть РґСЂСѓРіСѓСЋ ноту), РѕРЅ изменяет длину резонирующего воздушного столба. Особенно наглядно это РІРёРґРЅРѕ РЅР° тромбоне. РќР° РґСЂСѓРіРёС… трубах это менее заметно, здесь изменение длины резонирующего столба достигается нажатием РЅР° клавиши-пистоны, которые «включают» или «отключают» отдельные участки трубы (кстати, такой механизм сравнительно молод; РґРѕ 1826 Рі. каждая труба могла излучать очень ограниченный набор собственных частот) или создают новые пути выхода РІРѕР·РґСѓС…Р°.

(При демонстрации модели тромбона задаем вопрос: почему меняется тон при закрывании выходного отверстия трубы?

Ответ. Когда выходное отверстие трубы открыто, то при звучании основного тона на длине трубы укладывается одна четверть длины волны, а при закрывании трубы стоячая волна устанавливается, если на той же длине укладывается половина длины волны. Следовательно, резонансная длина волны уменьшается вдвое и во столько же раз возрастает частота.)

Р’ голосовом аппарате человека роль генератора шума играют голосовые СЃРІСЏР·РєРё, Р° роль резонаторов – полости рта, гортани Рё РґСЂСѓРіРёС… «воздухопроводов». Изменяя РёС… форму Рё размеры, РјС‹ РІ состоянии произносить различные Р·РІСѓРєРё. Интересно, что спектр обертонов (даже РїСЂРё пропевании РѕРґРЅРѕР№ Рё той же ноты) так же индивидуален для каждого человека, как Рё отпечатки его пальцев. РќР° РѕСЃРЅРѕРІРµ этого созданы РїСЂРёР±РѕСЂС‹, идентифицирующие личность РїРѕ голосу. Оказалось также, что если Сѓ человека меняется настроение или РѕРЅ лжет, то это сразу сказывается РЅР° спектральном составе его голоса. РќР° этом принципе работает РѕРґРёРЅ РёР· детекторов лжи, эффективность которого составляет 98% (СЃРј., например, «Аргументы Рё факты» в„– 47/1996).

Как определить скорость звука в воздухе, применяя знания о стоячих волнах? Предложим два способа:

1. РќР°Рґ открытым СЃРѕСЃСѓРґРѕРј расположим источник Р·РІСѓРєР° переменной частоты (питаемый РѕС‚ Р·РІСѓРєРѕРІРѕРіРѕ генератора) Рё, постепенно увеличивая частоту, добьемся резонанса, что скажет Рѕ том, что РІ столбе РІРѕР·РґСѓС…Р° РІ СЃРѕСЃСѓРґРµ возникла стоячая волна РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕРіРѕ тона n (частота, наименьшая РёР· всех возможных). Значит, РІ длине столба L РІРѕР·РґСѓС…Р° РІ СЃРѕСЃСѓРґРµ уложилась четверть волны: отсюда l = 4 L Рё, поскольку скорость волны v = l n, получаем v = 4Ln. Измерив L, произведем вычисления.

2. РќР°РїСЂР°РІРёРј Р·РІСѓРєРѕРІСѓСЋ волну известной частоты n РЅР° плотную стенку Рё получим стоячую волну. Возьмем микрофон, подключенный Рє осциллографу, Рё будем двигать его, меняя расстояние РґРѕ стенки. РџСЂРё попадании микрофона РІ узлы (РІ РЅРёС… максимальна потенциальная энергия) осциллограф зарегистрирует наибольшую амплитуду колебаний давления. Первый узел находится РЅР° расстоянии полуволны РѕС‚ стенки, второй – РЅР° расстоянии l, третий – РЅР° расстоянии 1,5l Рё С‚.Рґ. Определив l, рассчитаем скорость Р·РІСѓРєР°.

Можно предложить задачи.

1. Рљ какой частоте наиболее чувствительно СѓС…Рѕ человека, если длина слухового РїСЂРѕС…РѕРґР° около 2,7 СЃРј?

Решение

В слуховом проходе имеется столб воздуха, закрытый с одного конца. В этом случае стоячая волна в нем возникает при условии, что длина столба L равна одной четверти длины бегущей волны: Отсюда l = 4L. Поскольку частота n = v/l, где v – скорость звуковой волны, то Приняв скорость звука v = 340 м/с и подставляя значения, получаем:

2. РљР°Рє объяснить такой факт: РєРѕРіРґР° РїРѕРґРІРѕРґРЅРёРєРё Р–.-И.Кусто вынуждены были применить для дыхания вместо РІРѕР·РґСѓС…Р° кислородно-гелиевую смесь, то РёС… голоса изменили СЃРІРѕР№ тон РЅР° октаву. Почему это произошло Рё РІ какую сторону изменился тон?

Решение

Длина столба РІРѕР·РґСѓС…Р° L РІ элементах голосового аппарата человека одинакова, независимо РѕС‚ того, чем РѕРЅ наполнен (РІРѕР·РґСѓС…РѕРј или кислородно-гелиевой смесью). Скорость Р·РІСѓРєР° v РІ кислородно-гелиевой смеси  РІРґРІРѕРµ больше, чем РІ РІРѕР·РґСѓС…Рµ. Поэтому собственные частоты всех резонаторов (те частоты, РїСЂРё которых образуются стоячие волны) увеличиваются РІРґРІРѕРµ. Это соответствует повышению тона РЅР° октаву.

3. РџРѕС‡РµРјСѓ для различения Р·РІСѓРєРѕРІ «а» Рё «о», произносимых РЅР° частоте 1 РєР“С†, надо уметь регистрировать частоты РЅРµ менее 2 РєР“С†?

Решение

Гласные, даже произносимые одним тоном, различаются обертонами. Первый обертон имеет частоту, вдвое большую, чем основной тон, который по условию задачи равен 1 кГц. Поэтому для различения гласных необходимо иметь возможность воспринимать как минимум второй обертон (а лучше – несколько обертонов), т.е. частоту не менее 2 кГц.

Литература

Элементарный учебник физики.//Под ред. Г.С.Ландсберга. - М.: Наука, 1986.
РЇРІРѕСЂСЃРєРёР№ Р‘.Рњ., РџРёРЅСЃРєРёР№ Рђ.Рђ. РћСЃРЅРѕРІС‹ физики. - Рњ.: Наука, 1974.

_______
В первой части урока излагается тема «Стоячие волны» (в основном, по учебнику Г.С.Ландсберга), которую мы за недостатком места опустили.
Авторские компьютерные программы, позволяющие решать приведенные РІ статье задачи, РІ частности, делать спектральное разложение негармонического колебания, Р° также инструкции РїРѕ работе СЃ РЅРёРјРё можно получить бесплатно РІ сети Интернет РїРѕ адресу: http://web.ic.tsu.ru/~rain/er/index.html   – Ред.