МАРАФОН-2005

А.А.БУРОВ, Л.Е.СВИСТОВ,
школа № 179, г. Москва

Ниточки-верёвочки, или Принцип Ферма

Конец рабочего дня. Каждому хочется поскорее попасть домой. А что значит поскорее? Это значит, что из всех путей надо выбрать тот, который займёт меньше всего времени. Известно, что самые знатные определители наибыстрейших путей – ослы. Говорят, что в горных условиях они всегда выбирают наибыстрейший путь между начальной и конечной точками пути. Если, конечно, знают заранее, куда им предстоит идти. Спрашивается, кто (а может быть и что) способен найти самый быстрый путь между двумя точками? Великий Ферма подметил, что этим свойством обладает свет.

  • Принцип Ферма. Среди всех путей, соединяющих достаточно близкие точки A и B, свет всегда выбирает тот, время движения вдоль которого будет минимально.

Такая формулировка принципа распространения света математически может быть записана так. Пусть среда оптически неоднородна, т.е. в каждой её точке имеется «своя» скорость света c = c (x, y, z). Тогда в силу соотношения ds2 = dx2 + + dz2 принцип Ферма выражается соотношением

При этом сравнение осуществляется по путям, близким к пути, по которому свет приходит из точки A в точку B. Если наша среда оптически однородна, то
c
= const, и свет будет двигаться по прямой. Если, конечно, ему не встретятся какие-нибудь препятствия.

Пример 1. Некто из точки A хочет сфотографировать объект, находящийся в точке B. Что может быть проще?! Наводишь фотоаппарат на B, и ответ готов. Но этот самый Некто вознамерился сфотографировать объект B с помощью плоского зеркала l, причём A и B расположены по одну сторону от этого зеркала. Спрашивается, куда ему надо целиться? (Эту задачу иной раз называют «задачей о ленивом ковбое»: наш ковбой должен проехать из пункта A в пункт B, напоив по дороге лошадь у реки, рис. 1, а, причём в силу своей лени выбрать кратчайший путь.)

Рис. 1

Рис. 1. а) Где ковбою надо напоить лошадь, чтобы побыстрее попасть из точки A в точку B? б) Конечно же, в точке X!

Ответ прост: Некто должен целиться в точку B' – образ точки B в зеркале l (рис. 1, б). Геометрическое объяснение этому факту, как известно, нетрудно получить с помощью неравенства треугольника. В самом деле, пусть X – некоторая точка на прямой l. Так как точки B и B' симметричны относительно этой прямой, то XB = XB'. Но тогда, согласно неравенству треугольника, суммарное расстояние AX + XB = AX + XB' минимально, если точки A, X и B' располагаются на одной прямой.

Ну а теперь зададимся вопросом: нельзя ли заменить «строгую геометрию» на что-нибудь такое, где доказательство, пусть на «физическом» уровне строгости, может быть «изготовлено» своими руками? Вспомним, что, растянув руками верёвочку, мы получим замечательную физическую интерпретацию того, что в геометрии понимают под прямой, точнее, отрезком прямой. Ну а теперь перекинем эту верёвочку через толстую проволоку с закреплёнными концами и вновь натянем её. Если трение между верёвочкой и проволокой мало, то мы сможем воочию убедиться в справедливости того, что «угол падения» верёвочки на проволоку равен (конечно, в точке «излома») «углу отражения» (рис. 2). Итак, изготовлен простой прибор для демонстрации экстремальных свойств света.

Рис. 2

Рис. 2. Угол «падения» натянутой верёвочки на проволоку равен углу «отражения»

Замечание 1. Конечно, сила трения будет оказывать существенное влияние на равновесие рассматриваемой верёвочной системы. Задача об оценке такого влияния – достойный объект исследования не только для участников школьных физических кружков. А пока что экспериментаторы рекомендуют: прежде, чем демонстрировать результат, хорошенько потрясите конструкцию.

Пример 2. Теперь наш Некто хочет сфотографировать точку B из точки A с помощью пары параллельных зеркал l1 и l2 , причём, конечно, точки A и B находятся между этими зеркалами. Привычный ответ «с отражениями» уже не так прост – найдите-ка его! А в «верёвочном эксперименте» всё по-прежнему довольно просто: перекинем последовательно через прямые l1 и l2 верёвочку столько раз, сколько захотим, и натянем её так, чтобы концы оказались в A и B. Итак, ответ готов. Да и не просто ответ – целое множество ответов. Проще всего получается, конечно, в случае, когда верёвочка цепляет стороны по одному разу. В других случаях решения могут оказаться намного замысловатее.

Замечание 2. Эта же методика хороша и в том случае, когда зеркала l1 и l2 не параллельны. Перекидывай верёвочку поочередно через прямые l1 и l2, да натягивай так, чтобы концы оказались в A и B. Этакие катушки с нитками!

Пример 3. Тот же Некто из точки A с помощью пары непараллельных зеркал l1 и l2 хочет сфотографировать самого себя. В случае, если «дозволена» лишь парочка отражений, решение получится такое, как представлено на рис. 3, a. Геометрическое рассуждение, подтверждающее справедливость полученного результата, хорошо известно (см., например, Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. – М.: Наука 1966, разделы 5, 6). Отразим точку A относительно прямых l1 и l2 (рис. 3, б). Получим точки A1 и A2. Соединим точки A1 и A2 отрезком. Тогда точки X1 и X2, в которых этот отрезок будет пересекать прямые l1 и l2, и будут в силу принципа Ферма точками отражения луча, идущего из A в A. На самом деле отрезок A1A2 короче любой ломаной A1A2, точки , которой принадлежат прямым l1 и l2 соответственно и не совпадают с X1 и X2.

Рис. 3

Рис. 3. Как сделать фотографию самого себя с двумя отражениями в зеркалах: а) построение на верёвочке; б) геометрическая интерпретация

Если же дозволено сделать, например, три отражения, то можно сфотографировать себя как в фас (рис. 4, а), так и «в затылок» (рис. 4, б).

Рис. 4

Рис. 4. Фотография самого себя с тремя отражениями: а) в фас; б) в затылок

Можно сделать фотографии и с большим числом отражений (рис. 5).

Рис. 5

Рис. 5. Фотография самого себя: а) с четырьмя отражениями; б) с шестью отражениями

До сих пор мы предполагали, что наши зеркала – плоские. Именно это обстоятельство позволяло нам использовать в эксперименте прямые куски проволоки. Предположение о плоскостности зеркал, конечно, не является обязательным. Возьмём, например, сферическое зеркало, точнее, его сечение плоскостью, проходящей через центр сферы. Проволока в этом случае изогнута в виде окружности (рис. 6). Перекинем нашу верёвочку через получившуюся окружность, натянем её концы так, чтобы они оказались в точках A и B: луч света, идущий из A в B и отражающийся в нашем сферическом зеркале, найден.

Рис. 6

Рис. 6. «Отражение» луча в «сферическом зеркале» (а) и инверсия точки B (б), позволяющая понять, куда надо целиться

Любители геометрии тотчас сообразят, что для решения задачи геометрическими методами надо выполнить инверсию точки B относительно окружности, а затем соединить найденную таким образом точку B' с исходной точкой A (рис. 6, б). Точка пересечения X отрезка AB' с окружностью – это та точка, где должен отразиться свет, чтобы попасть в точку B.

Леонид Евгеньевич Свистов демонстрирует «игры с верёвочками»

Леонид Евгеньевич Свистов демонстрирует «игры с верёвочками» на Московском Дне физики (Марафон, 2005 г.)

Фото Е.Ольховской

Ну а теперь у нас полная свобода фантазии. Изображай прямыми кусками проволоки какие хочешь зеркала, протягивай, как хочешь, верёвочки, смотри, что получилось. Так, например, любителям стрелять из-за угла, вероятно, будет интересен вопрос о том, куда должен целиться Некто из A, чтобы попасть в Нечто из B, расположенное «за углом» зеркального коридора (рис. 7)?

Рис. 7

Рис. 7. Стрельба из-за угла: а) куда надо целиться, чтобы из точки A попасть в точку B? б) одно из «экспериментальных» решений

.  .