М.А.БРАЖНИКОВ,
Рі. РњРѕСЃРєРІР°

Задача без ответа

Из «старых задач»

Стоит четырёхэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше – два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара бабушка?

Я.Гашек. Похождения бравого солдата Швейка

Согласитесь, как часто задача, приведённая РІ СЃР±РѕСЂРЅРёРєРµ без ответа, представляется нам столь же туманной, как Рё РІРѕРїСЂРѕСЃ Швейка! Задача без ответа может поставить РІ тупик Рё ученика, Рё учителя! Похожие ощущения возникли Сѓ меня, РєРѕРіРґР° СЏ наткнулся РЅР° РґРІРµ задачи РёР· СЃР±РѕСЂРЅРёРєР° Рђ.Р’.Цингера (1933 Рі.!) в„– 617 Рё 618 [1].

• в„– 617. Р’РѕРґР° постепенно, капля Р·Р° каплей, вливается РІ широкую трубку (СЂРёСЃ. 148), соединённую СЃ капилляром, более коротким, чем трубка.

Р РёСЃ. 148

– Как будет изменяться высота уровня воды в той или другой трубке?

– Какие формы будет принимать поверх-ность (мениск) воды в капилляре, когда вода достигнет его обреза?

• в„– 618. РћРґРЅРѕ колено трубки (СЂРёСЃ. 149) широкое цилиндрическое, РґСЂСѓРіРѕРµ – капиллярное, СЃ шарообразным раздутием посредине. Р’ широкое постепенно вливается ртуть.

Р РёСЃ. 149

– Какие формы должен принимать мениск ртути по мере поднятия в раздутой части капилляра?

– Какие разницы уровней должны получаться при различных положениях уровня в раздутой части?

И в издании 1933 г., и в последующих (1934, 1938, 1951 гг., в последнем под № 569, 570) задачи приведены без ответов.

Что касается первой, то её объяснение дано в учебнике А.В.Цингера «Начальная физика», последнее издание которого [2], не считая репринтного [3], вышло в 1928 г. Ход рассуждений поясняет рисунок (в оригинале – рис. 174). Кроме этого, в изменённом виде эта задача приведена в сборнике [4], где также подробно разобрана. Сама по себе она является изящной, однако решение не таит больших сюрпризов.

Рис. 174. Действие поверхностного натяжения выпуклой и вогнутой поверхности воды в капиллярной трубке

Решения второй задачи в доступных мне задачниках я не нашёл, а получающаяся картина изменения формы мениска кажется если не «нестандартной», то по крайней мере разрушающей некоторые стереотипы представления о капиллярных явлениях.

Понятно, что по мере поднятия ртути в капилляре меняется радиус мениска (в силу симметрии в общем случае поверхность будет сферической); его кривизна уменьшается с подъёмом ртути. Однако даже в первом приближении нельзя рассматривать капилляр как цилиндрический или конический, расширяющийся кверху. На ход решения меня натолкнуло описание опыта по определению краевого угла ртути при контакте со стеклом, данное в учебнике Эдсера [5]. Вкратце оно таково: «…В небольшую сферическую колбу в диаметре 4–5 см влейте чистой ртути почти доверху; затем закройте горлышко резиновою пробкою, через которую проходит толстая стеклянная палочка. Поверните колбу вверх дном и установите стеклянную палочку так, чтобы поверхность ртути была плоскою вплоть до самой линии, по которой она пересекается со стеклом. Измерьте диаметр окружности d, по которой ртуть касается стекла. Тогда угол , составляемый свободною поверхностью ртути с поверхностью раздела ртути со стеклом, получается из равенства:
d/2 = r cos ( – /2)В».

Для современного читателя удивительны не только сами опыты со ртутью, которые стали практически недоступны, но и то, что при определённых условиях её поверхность в стеклянном сосуде может быть плоской.

Ключевым моментом в решении задачи является то, что краевой угол, определяющий, при прочих равных условиях, форму мениска, заключён между касательными к поверхности капилляра и к поверхности жидкости в точке касания. Для ртути и стекла краевой угол = 138°. Рассмотрим сферический капилляр. Ртуть касается его поверхности вдоль окружности. Дальнейшие рассуждения относятся к плоскому сечению, которое адекватно, в силу осевой симметрии, отражает объёмную картину. Точки K и K' суть точки касания стекла ртутью. Проведём касательную NN' через точку K; ОK = R – радиус сферического капилляра. Тогда MKN' = – краевой угол; луч KM является касательным к дуге окружности KK', представляющей поверхность мениска. KO' KM, пересечение отрезка KO' с осью OO' даст искомый центр поверхности мениска, а его длина определит радиус кривизны. Описанная процедура построения позволяет проследить, как меняется форма мениска по мере заполнения капилляра ртутью (см. рисунок).

Вначале ртуть имеет форму почти полной капли (рис. а). Подъём ртути в капилляре приводит к увеличению радиуса кривизны мениска (рис. б), причём сначала центр мениска O' приближается к центру капилляра О. При OO' = R cos ( – /2) 0,6691R расстояние минимально; при дальнейшем увеличении радиуса кривизны т. O' удаляется от т. О. Наконец, когда радиус становится бесконечным, поверхность ртути являет собой плоскость, расстояние от центра О до KK' равно Rsin( – /2), а общая высота ртути в сферическом капилляре R[1 + sin( – /2)] 1,7431R (рис. в). Подъём ртути выше этой точки приведёт к возникновению вогнутого мениска, кривизна которого будет увеличиваться (радиус уменьшаться) при дальнейшем прибавлении ртути вплоть до сопряжения сферической и цилиндрической частей капилляра. В месте сопряжения кривизна мениска меняется от вогнутой к выпуклой. Если считать, что ртуть прибавляют по очень маленьким каплям, то кривизна поверхности ртути должна меняться непрерывно, включая поверхность нулевой кривизны – плоскость. Форма мениска определяется геометрией капилляра и величиной краевого угла.

Чтобы ответить РЅР° вторую часть задачи, необходимо учесть направление действия избыточного давления Лапласа. Р’ случаях Р° Рё Р± сила давления действует РІРЅРёР·; РІ случае РІ РѕРЅР° равно нулю, Р° РІ случае Рі – направлена вверх. Пренебрегая РєСЂРёРІРёР·РЅРѕР№ поверхности ртути РІ широкой цилиндрической трубке, можно сказать, что начальная разность уровней ртути (определяемая диаметром СѓР·РєРѕРіРѕ цилиндрического капилляра) РїРѕ мере подъёма ртути РІ сферическом капилляре уменьшается вплоть РґРѕ нуля (СЂРёСЃ. РІ), РІ СѓР·РєРѕРј капилляре ртуть изначально стоит ниже. РџСЂРё дальнейшем доливании ртути, РєРѕРіРґР° мениск вогнутый, РѕРЅР° становится несколько выше РІ сферическом капилляре. РџСЂРё РїРѕРґС…РѕРґРµ ртути Рє верху «шарообразного раздутия» уровень ртути постепенно повышается РІ широком капилляре, РїРѕРєР° разность уровней РЅРµ достигнет первоначальной величины. Более детальный анализ задачи возможен РїСЂРё заданном конкретном соотношении радиусов сферической Рё цилиндрической частей СѓР·РєРѕРіРѕ капилляра.

Надо отдать должное А.В.Цингеру, подобравшему пару этих задач. В начале ХХ в. укороченные ртутные барометры и манометры широко использовались в практике научных исследований, в настоящее время сфера их применения резко сужена, и, казалось бы, качественные вопросы, подобные разобранным, должны отступить на второй план. Но возникает вечный вопрос: чему учить? В упрощённой форме ответ, наверное, состоит из двух взаимодополняющих частей: научить быстро решать стандартные задачи (в данном случае стандартным является подъём смачивающей жидкости в узком капилляре при вогнутом мениске, и опускание несмачивающей жидкости при выпуклом мениске), и учить анализировать нестандартные задачи. Последнее достигается методом проб и ошибок, и мы сами, учителя, можем заблуждаться относительно правильности их решения. И нельзя сказать: я научил своих учеников решать нестандартные задачи, – можно только продвигаться в этом направлении.

Мое убеждение состоит в том лишь, что для способного ученика (речь не идёт об одарённых!) умение решать нестандартные более абстрактные задачи «физики XX–XXI века» развивается из умения анализировать нестандартные более конкретные задачи классической физики. В этом смысле примеры на закон Архимеда, рычаги и блоки, санки на ледяной горке и т.п., я надеюсь, ещё долго не «устареют», как и приведённые выше «старые задачи».

Литература

1. Цингер А.В. Задачи и вопросы по физике. – М.-Л.: ГТТИ, 1933.

2. Цингер А.В. Начальная физика: Изд. 16-е. – М.-Л.: Госиздат, 1928.

3. Цингер А.В. Начальная физика. – М.: УНЦ ДО, 2005.

4. Зубов В.Г., Шальнов В.П. Задачи по физике. – М.: ГИТТЛ, 1957, задача № 273.

5. Эдсер Э. Общая физика. Основные свойства материи: Под ред. Боргмана И.И. – С.-Пб.: Естествоиспытатель, 1913.