Задача для учителя

В серии статей под общим названием «В университет!» «Физика» публикует задачи, предлагавшиеся в разные годы на вступительных экзаменах в МГУ. Внимание привлекла интересная задача по оптике, авторское решение которой занимает почти половину газетной страницы (Широков А.А. и др.,№ 2/2000). Громоздкость этого многоходового анализа, вряд ли целесообразного именно на вступительном экзамене, вызывает вопрос – какова доля абитуриентов, успешно справившихся с этой головоломкой? Ведь предложенный способ решения не самый рациональный. Именно поэтому такая задача может быть полезна учителю физики, особенно в классах углубленного изучения предмета. Умение пойти своим путем, увидеть разные варианты представляется одним из наиболее ценных качеств учащегося, это умение можно и нужно воспитывать, поощряя каждую попытку действовать самостоятельно.

Вот условие задачи: «Перемещая линзу между экраном и предметом, удается получить два его четких изображения поперечными размерами 2 см и 8 см. Найдите поперечный размер предмета». Не самая удачная формулировка. Не «удается», а всегда возможно, лишь бы расстояние от предмета до экрана было не меньше четырех фокусных расстояний данной линзы. Еще хуже рисунок, нижняя половина которого получена, видимо, переворотом верхней на компьютере, в результате чего предмет приобрел различную высоту («поперечный размер»), да и горизонтальное смещение половинок друг относительно друга тоже не обязательно. Приводим правильный рисунок.

Поскольку линза одна и та же, приравняем фокусные расстояния, выраженные для первого и второго положений:

где S – величина перемещения линзы. И здесь мы покидаем авторов.

Упростим выражение (1):

d₁f₁ = (d₁ – s)(f₁ + s) =  d₁f₁ + d₁s – f₁s – s₂,

s = d₁ – f₁.

Из рисунка видно, что d₂ = d₁ – s, а  f₂ = f₁ + s, откуда: d₂ = d₁ – d₁ + f₁ = f₁; f₂ =  f₁ + d₁ – f₁ = d₁ Ю d₂ = f₁; f₂ = d₁.

А из подобия соответствующих треугольников увеличение линзы в двух положениях есть .

Их произведение равно, естественно, единице:

Вот и все решение.

Однако учителю полезно проделать еще некоторые преобразования и получить так называемую формулу Бесселя, пригодную для исследования не только тонких, но и реальных линз. Перепишем исходную формулу:

и преобразуем ее: 

Эта формула хороша тем, что расстояние от предмета до экрана измеряется независимо от положения линзы, и перемещение линзы одно и то же для всех точек, жестко связанных с линзой, т.е. не нужно знать положение оптического центра линзы, от которого следует отсчитывать расстояния... Именно поэтому способ Бесселя применим для любой линзы, не только для тонкой.