Абитуриенту

С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин,
И.П.Николаев, Н.Б.Подымова,
М.С.Полякова, проф. В.И.Шмальгаузен,
физфак МГУ, г. Москва

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2001 г.

I. Механика

1  Пловец переплывает реку шириной L по прямой, перпендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив на весь путь время t₁=4 мин. Проплывая такое же расстояние L вдоль берега реки и возвращаясь обратно, пловец затрачивает время t₂=5 мин. Во сколько раз a скорость пловца относительно воды превышает скорость течения реки?

Решение

Согласно закону сложения скоростей скорость пловца относительно неподвижной системы отсчета (берега) v равна векторной сумме его скорости относительно воды v₀ и скорости течения u: v = v₀ + u. В первом случае, когда пловец пересекает реку по прямой, перпендикулярной берегу, v^u, так, что векторы v, v₀, u образуют прямоугольный треугольник.

Следовательно, и время, за которое пловец переплывает реку туда и обратно:

           (1)

Во втором случае, когда пловец плывет вдоль берега, его скорость в неподвижной системе отсчета v₁=v₀+u при движении по течению, и v₂=v₀–u при движении против течения. Следовательно, время, которое пловец затрачивает для того, чтобы проплыть вдоль берега расстояние L и вернуться обратно:

Решая систему уравнений (1), (2) относительно v₀ и u, находим:

Ответ.

2   Жонглер бросает вертикально вверх шарики с одинаковой скоростью через равные промежутки времени. При этом пятый шарик жонглер бросает в тот момент, когда первый шарик возвращается в точку бросания. Найдите максимальное расстояние s_max между первым и вторым шариками, если начальная скорость шариков v₀ = 5 м/c. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/c². Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Для описания движения шариков выберем координатную систему с началом в точке бросания, направив ось Oy вертикально вверх. Время будем отсчитывать с момента бросания первого шарика. Тогда координаты 1-го и 2-го шариков будут описываться следующими кинематическими уравнениями:

где T – промежуток времени между бросаниями шариков.

Поскольку полное время полета каждого из шариков а, по условию задачи, жонглер бросает 5-й шарик в момент, когда 1-й шарик возвращается в исходную точку причем 1-й и 2-й шарики находятся в полете одновременно в интервале времени TЈtЈ4T (см. рисунок, на котором сплошными линиями изображены зависимости координат шариков от времени). Расстояние между 1-м и 2-м шариками в этом интервале

График зависимости этой величины от времени изображен на рисунке штриховой линией.

Анализ последнего выражения показывает, что оно достигает максимума при t = T и при t = 4T, т.е. в момент бросания 2-го шарика и в момент возвращения 1-го шарика в исходную точку. Подставляя в выражение для расстояния между шариками любое из этих значений времени, получаем ответ:

3   Стержень длиной l = 0,85 м движется в горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости концов стержня равны v₁ = 1 м/с и v₂ = 1,5 м/с, причем скорость первого из них направлена под углом a = 30° к стержню. Какова угловая скорость w вращения стержня вокруг его центра?

Решение

Поскольку скорости концов стержня в неподвижной системе отсчета различны, он совершает относительно этой системы сложное движение, представляющее собой сумму поступательного и вращательного движений. При этом скорости разных точек стержня различны. Для определения угловой скорости вращения стержня удобно перейти в систему отсчета, поступательно движущуюся вместе с его центром. С этой целью нужно вначале определить скорость центра стержня относительно неподвижной системы отсчета.

Из геометрических соображений ясно, что в данной системе радиус-вектор центра стержня равен полусумме радиус-векторов его концов: Дифференцирование этого равенства по времени дает нам аналогичное соотношение для скорости центра стержня:

Согласно закону сложения скоростей скорости концов стержня в системе отсчета, связанной с его центром, выражаются следующим образом (см. рисунок):

Из постоянства длины стержня вытекает, что проекции скоростей его концов на направление стержня в каждый момент времени совпадают:

v₁ cos a = v₂ cos b.

Поэтому v₁' и v₂' перпендикулярны стержню, причем  

Следовательно,

Учитывая, что получаем ответ:

4   Лестница состоит из трех одинаковых гладких ступенек шириной а = 30 см и такой же высоты. На верхней ступеньке расположена в плоскости рисунка невесомая пружина жесткостью k= 30 Н/м, правым концом прикрепленная к неподвижной стенке, а левым – упирающаяся в лежащий на ступеньке маленький шарик массой m = 100 г. Шарик сдвигают вправо, сжимая пружину, после чего отпускают без начальной скорости. До какой максимальной величины dl_max можно сжать пружину, чтобы выпущенный шарик по одному разу коснулся средней и нижней ступенек? Удар шарика о ступеньку считать абсолютно упругим, трение и сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Решение

Сжатая пружина сообщает шарику начальную скорость v₀, величина которой может быть найдена из закона сохранения энергии:

Отсюда , т.е. начальная скорость шарика пропорциональна сжатию пружины. Покинув с такой скоростью верхнюю ступеньку, шарик летит по параболической траектории до соударения с другими ступеньками. При упругом ударе о каждую из них горизонтальная составляющая скорости шарика не изменяется, а вертикальная составляющая меняет направление на противоположное, сохраняя свою величину. В результате угол между нормалью к ступеньке и скоростью шарика перед соударением оказывается равным по величине углу между нормалью к ступеньке и скоростью шарика после соударения; модуль скорости шарика после соударений не изменяется.

По условию задачи, максимальная начальная скорость шарика отвечает случаю, когда шарик отскакивает от средней ступеньки и попадает на самый край нижней ступеньки. Соответствующая траектория шарика изображена на рисунке штриховой линией. Заметим, что если начальная скорость шарика превысит данное значение, он пролетит над нижней ступенькой, не коснувшись ее. Дальнейшее увеличение начальной скорости шарика может привести к тому, что он не попадет и на среднюю ступеньку.

Время падения шарика, не имеющего вертикальной скорости, с высоты a равно Такое же время шарик будет подниматься до уровня верхней ступеньки после соударения со средней ступенькой. Наконец, падать с высоты верхней ступеньки до удара о нижнюю ступеньку шарик будет в течение времени . Таким образом, полное время движения шарика с момента, когда он покидает верхнюю ступеньку, до соударения с нижней ступенькой равно:  

За это время шарик смещается по горизонтали на 2a. Следовательно: 

Объединяя последнее равенство с выписанным соотношением между начальной скоростью шарика и сжатием пружины, получаем ответ:

См. продолжение в  № 10/2002

.