Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №4/2005
Физфак МГУ-2004

Абитуриенту

В.М.Буханов, А.В.Грачёв, В.А.Ппогожев,
В.С.Степанова, Н.И.Чистякова, А.А.Якута
yakuta@genphys.phys.msu.su

Физфак МГУ-2004

Вступительные испытания по физике

В 2004 г. на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова проводились два тура физико-математической олимпиады (в марте и мае) и один вступительный экзамен (в начале июля). Олимпиадные задания и экзаменационные билеты по физике содержали два теоретических вопроса, формулировки которых были взяты из программы по физике, опубликованной в справочнике для поступающих в МГУ, и две задачи. Ниже приводятся условия предлагавшихся задач и их решения. В решениях особое внимание уделено обоснованию возможности применения того или иного закона и указаны предположения, в том числе и так называемые стандартные, которые необходимо было сделать в ходе решения.

По всем вопросам приёма обращайтесь по телефону 939-1241 в совет по новому приёму и работе со школьниками физического факультета МГУ.

I. механика

1 На противоположных берегах прямолинейного участка реки на расстоянии L друг от друга находятся пристани А и В. Прямая АВ образует угол альфа с берегом. От пристаней одновременно с одинаковыми по величине скоростями скорость отошли два катера. Катера шли вдоль прямой АВ и встретились через время тау после отправления. Найдите величину скорости катеров скорость. Скорость течения реки считайте постоянной и равной u.

Решение

В условии задачи не сказано, какая из двух пристаней расположена ниже по течению. Поэтому в данной задаче необходимо рассмотреть два случая. В первом случае будем считать, что пристань В находится ниже по течению, а во втором – выше. Будем искать решение, полагая, как это обычно и делается в подобных задачах, что катера полностью «увлекаются» водой. При выполнении этого предположения на основании принципа независимого сложения движений можно утверждать, что скорость скоростьi движения катера относительно берега должна быть равна векторной сумме скорости течения u и скорости катера относительно воды скорость. Поскольку, по условию задачи, катера должны двигаться вдоль прямой, соединяющей пристани, то направления их скоростей относительно берега должны совпадать с прямой АВ. С учётом сказанного на рис. 1 изображены оба удовлетворяющие условию задачи случая, причём около векторов скоростей катеров указаны их модули.

С учётом показанных на этом рисунке обозначений углов между величинами скоростей катеров относительно берега и воды справедливы соотношения

Рисунок

  формула   (1)

поэтому формула Следовательно, величины скоростей катеров относительно берега в первом случае равны

формулаформула     (2)

а во втором

формула формула    (3)

Поскольку катера одновременно отплывают от пристаней и до встречи должны переместиться друг относительно друга на расстояние L за время тау, а величина скорости их сближения равна

формула

то формула т.к., согласно соотношению (1), формула Решая предпоследнее уравнение, находим искомую величину скорости движения катеров относительно воды:

формула

2   Маленькая шайба соскальзывает без начальной скорости с высоты Н по гладкой наклонной плоскости и упруго ударяется о горизонтальную площадку. В момент удара с этой площадки вертикально вверх бросают камешек с такой скоростью, чтобы он поднялся на высоту, которая в n раз меньше Н. На каком расстоянии L от линии пересечения площадки с наклонной плоскостью находилась точка броска, если шайба ударилась о камешек до того момента, когда они вторично ударились о площадку? Влиянием воздуха на движение тел пренебречь.

Решение

При решении задачи будем использовать лабораторную систему отсчёта, расположенную относительно наклонной плоскости и горизонтальной площадки так, как показано на рис. 2. Как обычно, будем считать эту лабораторную систему отсчёта инерциальной. Поскольку шайба соскальзывает без начальной скорости по гладкой наклонной плоскости, а влиянием воздуха на движение шайбы и её размерами, по условию задачи, следует пренебречь, то, согласно закону сохранения механической энергии в системе шайба–Земля, величина скорости шайбы перед самым ударом о горизонтальную площадку должна быть равна формула где g-ускорение свободн. падения – величина ускорения свободного падения. При выводе этого соотношения было учтено, что масса Земли во много раз превышает массу шайбы.

По условию задачи, удар шайбы о горизонтальную площадку является упругим. Поэтому на основании законов сохранения импульса и механической энергии в системе шайба–Земля и с учётом малых размеров шайбы можно утверждать, что после удара горизонтальная составляющая скорости шайбы останется неизменной, а вертикальная, сохранив свою величину, изменит направление на противоположное. Таким образом, в момент броска камешка составляющие скорости шайбы должны быть равны формулаформула где альфа – угол наклона плоскости к горизонту (см. рис. 2). Следовательно, если начать отсчитывать время t от момента окончания удара шайбы о площадку, то до момента соударения шайбы с камешком, т.е. при форм. закон движения шайбы в выбранной системе отсчёта можно представить в виде: формулаформула

Рисунок

По условию задачи, камешек был брошен вертикально вверх с такой скоростью, что мог бы подняться на высоту H/n, если бы о него не ударилась шайба. Поэтому, пренебрегая массой камешка по сравнению с массой Земли и учитывая, что камешек до момента удара о него шайбы, по условию задачи, совершает свободное падение, согласно закону сохранения механической энергии в системе камешек–Земля, начальная скорость камешка должна быть равна формула Следовательно, закон движения камешка при форм.  можно представить в виде:

формулаформула

Учитывая, что в момент удара t = тау соответствующие координаты шайбы и камешка должны быть равны, получим:

формулаформулаформула

По условию задачи, соударение шайбы с камешком должно было произойти до того момента, когда они вторично ударятся о площадку. Следовательно, момент соударения шайбы с камешком должен удовлетворять неравенству

формула

а потому

формула

 

и искомое расстояние от линии пересечения площадки с наклонной плоскостью до точки, из которой был брошен камешек,

формула

Продолжение в № 6