В.М.Буханов, А.В.Грачёв, В.А.Погожев,
Н.И.Чистякова, А.А.Якута
yakuta@genphys.phys.msu.su

Физфак МГУ-2004

Вступительные испытания по физике

Продолжение. См. № 4/05

I. МЕХАНИКА  (продолжение)

3    По горизонтальной плоскости скользит квадратная пластина АВСD. В некоторый момент скорости вершин А и В оказались перпендикулярными друг другу, а скорость вершины С составляла с вектором CD угол, тангенс которого равен 0,5. Какую скорость в этот момент времени имела точка М, являющаяся серединой отрезка АВ?

Решение

Будем, как это обычно и делается при решении подобных задач, считать пластину твёрдым телом. По условию задачи, тангенс угла между вектором скорости вершины С и стороной квадрата CD равен 0,5, а пластина движется по плоскости. Следовательно, скорости всех точек пластины параллельны плоскости, угол BCM равен , скорость вершины С перпендикулярна прямой МС, а т.к. длина отрезка MC должна быть неизменной, то искомая скорость перпендикулярна прямой МС и образует со стороной АВ угол .

Пусть вектор скорости вершины В образует со стороной АВ угол . Поскольку BC = const, то вектор может быть направлен только так, как показано на рис. 3, причём в обоих изображённых случаях:

По условию задачи, скорости вершин А и В взаимно перпендикулярны. Поэтому угол АКЕ между прямой АК и перпендикуляром КЕ, опущенным из конца вектора скорости вершины А на сторону АВ, равен , а т.к. AM = MB = const, то

Угол KAF в первом случае равен а во втором случае равен Учитывая, что проекции скоростей вершин квадрата А и С на его диагональ АС должны быть одинаковыми (иначе длина диагонали АС жёсткого квадрата должна изменяться), получаем

Поскольку а то из предыдущих соотношений следует, что

а потому

, или

Решая последнее уравнение с учётом того, что получаем:

Решение данной задачи можно существенно упро-стить, если воспользоваться понятием мгновенной оси вращения.

По условию задачи, скорости разных точек пластины компланарны, но не параллельны друг другу. Следовательно, движение пластины можно представить как сумму вращательного движения вокруг некоторой оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости, по которой движется пластина, и движения этой оси с некоторой скоростью, параллельной указанной плоскости. Поэтому, если в качестве оси вращения выбрать так называемую мгновенную ось вращения (ось, скорость которой в данный момент времени равна нулю), величина линейной скорости произвольной точки пластины будет равна произведению угловой скорости на радиус вращения данной точки, а сама скорость точки будет направлена перпендикулярно этому радиусу. Из сказанного следует, что мгновенная ось вращения должна проходить через точку пересечения перпендикуляров к векторам скоростей точек пластины, лежащих в одной горизонтальной плоскости.

По условию задачи, скорости вершин А и В взаимно перпендикулярны, а потому и перпендикуляры к этим скоростям должны пересекаться под прямым углом. Следовательно, точка пересечения этих перпендикуляров должна лежать на окружности, диаметром которой является сторона АВ. На рис. 4 показан перпендикуляр к вектору скорости точки С. Видно, что этот перпендикуляр пересекает построенную окружность в двух точках. Таким образом, мгновенная ось вращения проходит либо через точку О₁, либо через точку О₂, и угловая скорость вращения квадрата равна либо либо

Пусть длина стороны квадрата равна 2a. По условию задачи, вектор скорости вершины С образует с вектором CD такой угол , что tg =0,5. Поэтому перпендикуляр к пересекает сторону АВ в точке М, т.к. эта точка, по условию задачи, совпадает с серединой стороны АВ. Из сказанного и рис. 4 следует, что O₁C=MC+a и O₂C=MC–a. Следовательно, линейная скорость точки М направлена перпендикулярно отрезку МС, так, как показано на рис. 4, а её величина равна либо

либо

что совпадает с полученным ранее результатом.

4    На гладкой горизонтальной плоскости лежит длинная доска массой М, а на её краю лежит небольшой брусок массой m. Коэффициент трения бруска о доску равен . В некоторый момент к бруску прикладывают параллельную оси доски силу F (рис. 5), величина которой возрастает со временем t по закону F=kt. Найдите зависимость скорости доски от времени для моментов t<, зная, что доска движется поступательно, а – момент соскальзывания бруска с доски.

Решение

Как обычно, будем считать плоскость, на которой лежит доска, неподвижной относительно лабораторной системы отсчёта, а эту систему инерциальной. Кроме того, будем пренебрегать влиянием воздуха на тела и считать, что величина силы сухого трения скольжения между доской и бруском не зависит от относительной скорости этих тел и равна максимальному значению силы сухого трения покоя, т.е. равна N, где N – величина нормальной составляющей силы реакции доски на брусок. Из условия задачи следует, что брусок не перемещается по вертикали. Поэтому с учётом сделанного выше предположения можно утверждать, что N=mg, где g – величина ускорения свободного падения.

Если считать, что на брусок сила F начала действовать в момент времени t=0, то до начала скольжения (t=t₁) ускорения бруска и доски должны быть одинаковы и, согласно теореме о движении центра масс механической системы, равны F/(m+M). После возникновения скольжения, согласно сделанным предположениям и второму закону Ньютона, величина ускорения доски не изменяется со временем вплоть до момента и равна

Величина ускорения бруска на этом интервале времени равна Из двух последних соотношений следует, что скольжение бруска при выполнении сделанных предположений должно начаться в момент времени Таким образом, вплоть до момента времени t₁ величина ускорения доски увеличивается со временем по линейному закону, а затем вплоть до момента времени t= остаётся постоянной. Поскольку при t=0 и скорость, и ускорение доски равны нулю, то можно утверждать, что искомая зависимость скорости доски от времени имеет вид:

5    Автомобиль массой m со всеми ведущими колесами, стоящий на прямолинейном горизонтальном участке дороги, начинает движение. При этом двигатель развивает постоянную мощность N. Коэффициент трения колёс о дорогу равен . Пренебрегая силой сопротивления движению автомобиля, найти зависимость его скорости от времени.

Решение

Как обычно, будем считать систему отсчёта, неподвижную относительно дороги, инерциальной. Поскольку автомобиль движется по горизонтальному участку дороги и все его колеса являются ведущими, то вне зависимости от положения центра тяжести действующая на автомобиль тангенциальная составляющая силы реакции дороги, называемая обычно силой сухого трения, согласно закону Кулона–Амонтона, должна удовлетворять соотношению где g – величина ускорения свободного падения.

По условию задачи, действием сил сопротивления движению автомобиля следует пренебречь. Поскольку автомобиль движется прямолинейно, то, согласно второму закону Ньютона, величина ускорения автомобиля Считая, что мощность двигателя полностью передаётся на колёса, можно утверждать, что после включения двигателя колёса некоторое время будут скользить по дороге, а потому величина силы тяги будет равна т.е. в течение промежутка времени величина ускорения автомобиля будет равна mg, а величина его скорости будет изменяться по закону (t) = gt. Начиная с момента времени

скольжение колес прекратится, а потому величина силы тяги будет удовлетворять условию

Следовательно, в соответствии с условием задачи и сделанным предположением приращение кинетической энергии автомобиля должно быть равно работе двигателя, т.е. при t > должно выполняться соотношение

Подставляя в это выражение ранее найденные значения и (t), получаем:

Продолжение в № 8