Беллур Сиварамия ЧАНДРАСЕКАР
Почему всё вокруг такое, какое оно есть?
Продолжение. См. № 2, 4, 6, 8, 10, 12/05
10. Электрические лампочки и изолированные провода (продолжение)
4. Рассеяние электронов (продолжение)
В гл. 6 мы видели, что электроны в кристаллическом твёрдом теле описываются волнами Блоха. Как показано на рис. 6-10 [см. № 24/04. – Ред.], у этих волн возникают дополнительные подрагивания в тех точках, где находятся ионы. Именно появление этих подрагиваний, а не рассеяние, является результатом взаимодействия между зарядом электрона и зарядами ионов. Если мы описываем электроны блоховскими волнами, о ионах можно забыть. Можно считать, что блоховские волны существуют в пустом пространстве, т.е. ничто не мешает движению описываемых этими волнами электронов. Но тогда какая же причина приводит к рассеянию электронов, предотвращая неудержимое нарастание тока после приложения напряжения?
Я сказал, что можно забыть про ионы. Это не совсем так. Можно забыть только про неподвижные ионы. Однако существуют колебания ионов относительно их средних положений. Кинетическая энергия этих колебаний определяет тепловую энергию решётки и температуру твёрдого тела. В гл. 6 мы видели, что квантование этих колебаний приводит к появлению фононов. Итак, блоховские волны находятся не в пустом пространстве, а в пространстве, заполненном частицами, – фононами, которые движутся в твёрдом теле со скоростью звука. Рассеяние электронов в результате соударений с фононами и является причиной ограничения электрического тока и появления сопротивления.
Откуда электрон «узнаёт», что фонон где-то рядом? Фонон – это квант звуковой волны, т.е. волны попеременного сжатия и растяжения решётки ионов. Электроны проводимости колеблются в такт с этими колебаниями ионной решётки, но не идеально точно. В результате сжатые (растянутые) области звуковой волны приобретают положительный (отрицательный) заряд, а звуковая волна сопровождается волной заряда, колеблющегося между отрицательным и положительным значениями. Такая звуковая волна влияет на электроны проводимости и заставляет их переходить из одного квантового состояния в другое. В этом заключается механизм рассеяния электронов в результате взаимодействия с фононами.
Электроны являются фермионами, и это означает, что в каждом квантовом состоянии с заданным вектором k может находиться не более двух электронов с противоположными спинами. В гл. 6 описано, каким образом это обстоятельство приводит к понятию ферми-поверхности, внутри которой находятся волновые векторы электронов. Вспоминая, что импульс равен волновому вектору, умноженному на постоянную Планка, а также произведению массы на скорость, можно считать, что ферми-поверхность даёт картину распределения скоростей электронов. На рис. 10-3 показано, что происходит с ферми-поверхностью (которую мы для простоты предполагаем сферической) при протекании тока. Заметим, что описываемая картина верна и для ферми-поверхностей любой формы. Части А и В на рис. 10-3 совместно образуют сферу с центром в точке О. Векторы скорости всех электронов лежат внутри этой сферы, и всё это соответствует ситуации, когда в металле нет никакого тока. Хотя электроны движутся по всем возможным направлениям со скоростями от нуля до максимально возможной, в среднем тока нет. Для каждого электрона, движущегося в данном направлении, найдётся другой электрон, движущийся с той же скоростью в строго противоположном направлении, так что сумма скоростей этой пары равна нулю и соответствует нулевому току.
Рис. 10-3. Влияние электрического тока на поверхность Ферми. Части А и В совместно представляют ферми-поверхность, когда тока нет. Когда появляется ток, то ферми-поверхность как целое смещается на вектор
и представляется совместно частями В и С
А – состояния, заполненные без тока, и пустые, если он есть; В – всегда заполненные состояния; С – состояния, занятые при наличии тока, и пустые без тока
Приложим теперь напряжение, т.е.
подействуем на каждый электрон с некоторой
силой, так что к скорости электрона добавится
скорость в направлении силы. Через какое-то
время, которое я обозначу греческой буквой 
(тау), происходит
рассеяние. К этому моменту каждый электрон
увеличивает скорость на величину 
. Например, электрон, начальная
скорость которого показана на рисунке вектором 1,
приобретает через это время скорость,
изображённую вектором 2. В этот момент электрон
сталкивается с фононом и изменяет его волновой
вектор так, что он становится равным вектору 3.
Если представить себе, что такой процесс
происходит с каждым вектором скорости, то можно
убедиться, что суммарный эффект сводится к
смещению сферы как целого вправо на вектор , так что эта сфера
складывается из областей В и С. Но такая картина
нестатична: приложение напряжения сдвигает
сферу на определённое расстояние, но затем это
движение останавливается, потому что в
результате рассеяния электроны исчезают из
квантовых состояний в переднем фронте С и вновь
возникают в состояниях на заднем фронте В.
Ток есть заряд, проходящий через
заданную точку за 1 с, поэтому он пропорционален
скорости ,
которая называется дрейфовой скоростью. Время до того момента,
когда электрон испытывает рассеяние, называется
временем рассеяния. Чем больше время рассеяния,
тем больше дрейфовая скорость, а следовательно,
больше ток. Кроме того, ток также пропорционален
числу электронов в единице объёма (т.е. плотности
электронов), иначе говоря, числу носителей тока.
Таким образом, для того чтобы объяснить
различные особенности электрического
сопротивления металлов, сплавов и
полупроводников (рис. 10-2), нужно разобраться с
временем рассеяния и плотностью электронов.
Рассмотрим сначала чистый металл. Когда температура растёт, в металле увеличивается тепловая энергия. Вклад в эту энергию вносят колебания атомов металла относительно своих средних положений, которые после квантования превращаются в фононы. Число фононов растёт с ростом температуры, поэтому увеличивается и частота столкновений фононов с электронами. Это означает, что время рассеяния (т.е. время между соударениями) уменьшается, а следовательно, с ростом температуры уменьшается и проводимость. И наоборот, при уменьшении температуры электрическое сопротивление должно уменьшаться. Именно это и происходит. Плотность электронов может меняться от металла к металлу, но для заданного металла не зависит от температуры. Таким образом, мы сумели на базе основных принципов дать объяснение различных сопротивлений у разных металлов и того, как эти сопротивления зависят от температуры.
В сплаве имеется более одного типа атомов в решётке, например, медь и цинк в бронзе. В гл. 8 мы видели, что это приводит к дополнительному рассеянию электронов за счёт потери трансляционной симметрии. Это, в свою очередь, порождает электрическое сопротивление, которое добавляется к сопротивлению, порождаемому электрон-фононным рассеянием. Кроме того, это сопротивление не зависит от температуры, т.к. два типа атомов не меняют своих положений. Именно такое поведение сопротивления сплавов наблюдается на опыте (рис. 10-2).
Рассмотрим, наконец, электрическое сопротивление чистых полупроводников, например, кремния или германия. По сравнению с сопротивлением металлов имеются два существенных отличия: сопротивление полупроводников очень велико и становится ещё больше с понижением температуры. Для объяснения опять обратимся к поведению двух величин – времени рассеяния и числа электронов в единице объёма. Время рассеяния определяется в основном числом фононов, которое, в свою очередь, определяется температурой вещества. Таким образом, нет причин ожидать каких-то существенных различий времени рассеяния у металлов и полупроводников. Однако ситуация в корне меняется, если сравнивать число электронов, способных переносить ток.
Полупроводник, по существу, является диэлектриком: уровни энергии электронов распределены так, как показано на рис. 10-4. Имеется так называемая валентная зона. Над этой зоной находится запрещённая зона, т.е. интервал энергий, в котором отсутствуют квантовые состояния электронов. Над ней опять имеется зона разрешённых значений энергии – так называемая зона проводимости. При очень низких температурах почти каждое квантовое состояние в валентной зоне занято электроном, а в зоне проводимости электронов очень мало. Приложенное напряжение создаёт очень маленький ток, т.е. мы имеем диэлектрик.
Рис. 10-4. Валентная зона и зона проводимости в полупроводнике при низкой (слева) и высокой (справа) температурах. При нагревании полупроводника появляется всё больше электронов в зоне проводимости и пустых состояний в валентной зоне (что эквивалентно дырочной зоне)
Когда температура повышается, часть электронов из валентной зоны приобретают достаточную дополнительную энергию в форме тепловой энергии, чтобы перескочить в ранее незанятые состояния в зоне проводимости. Эта дополнительная энергия должна равняться по меньшей мере ширине запрещённой зоны, т.к. внутри самой запрещённой зоны нет свободных мест для электронов. В валентной зоне появляется равное количество пустых состояний, т.е. возникает дырочная зона. С ростом температуры число электронов и дырок растёт. Это означает, что данное приложенное напряжение будет создавать тем больший ток, чем выше температура, т.к. в этом случае увеличивается число носителей тока – электронов и дырок. Поэтому сопротивление полупроводника должно уменьшаться с увеличением температуры. Именно это и происходит, как видно из рис. 10-2.
Что можно сказать о времени рассеяния, которое также влияет на сопротивление полупроводника? Рассеяние обусловлено фононами, и оно сильнее при более высоких температурах, так же, как в металлах. Но влияние этого рассеяния на сопротивление мало по сравнению с влиянием изменения числа электронов и дырок, так что в целом происходит падение сопротивления с ростом темпаратуры, что и наблюдается на опыте.
Примесь малых количеств других элементов к полупроводнику, например, фосфора или алюминия к кремнию, приводит к тому, что электроны в зоне проводимости или пустые состояния в валентной зоне (эквивалентные дырочной зоне) будут присутствовать даже при самых низких температурах (см. гл. 6). Кроме того возникнет тепловое возбуждение электронов и дырок в чистом полупроводнике, таким образом, изменение удельного сопротивления таких примесных полупроводников будет численно находиться в интервале между удельными сопротивлениями металлов и чистых полупроводников.
Диэлектрик, например, покрытие медного провода, используемого в домашней проводке для передачи электрического тока, имеет, по существу, ту же структуру, что и полупроводник, но с одним существенным качественным отличием. Ширина запрещённой зоны настолько велика, что при обычных температурах возникает очень мало электронов, тепловая энергия которых достаточна для перехода из заполненной зоны в пустую. Это означает, что при приложении напряжения возникает пренебрежимо малый ток. Вещество ведёт себя как диэлектрик.
Таким образом, мы видим, что основные свойства электрического сопротивления металлов, полупроводников и диэлектриков можно понять с помощью представления о квантовых уровнях энергии электронов и квантов тепловых колебаний – фононов. Как отмечалось выше, удельные сопротивления разных веществ принимают значения в наиболее широком интервале значений по сравнению с любыми другими физическими свойствами. Тем не менее одно и то же квантово-механическое описание, применённое ко всем этим веществам, даёт объяснение этой чудовищно большой изменчивости. Квантовая механика становится важной не только тогда, когда мы размышляем о поведении отдельных электронов и атомов. Она существенна также для понимания явлений повседневных масштабов, таких, как протекание тока по медному проводу.
5. Полупроводники за работой
Думаю, что каждый слышал слово транзистор, хотя не все достаточно хорошо понимают, что это такое. Транзистором часто называют маленький карманный радиоприёмник, но это не то, что подразумевали учёные, вводя такой термин. Я буду употреблять это слово в его первозданном значении полупроводникового устройства, обладающего определёнными желаемыми электрическими свойствами. Все электронные приборы, окружающие нас дома, на работе и в любом другом месте, содержат такие устройства, причём число их меняется от нескольких штук до многих миллионов. Примерами могут служить радиоприёмники, телевизоры, видеомагнитофоны, карманные калькуляторы, автомобили, стиральные машины, компьютеры и т.д. и т.п. Этот список можно долго продолжать.
Чтобы привести пример того, что делает транзистор, рассмотрим радиоприёмник. Он принимает от радиовещательной станции электромагнитную волну, порождающую очень слабый электрический ток в антенне. В радиоприёмнике этот слабый сигнал преобразуется в значительно более мощный ток, проходящий через микрофон и воспроизводящий радиопередачу. В процессе усиления сигнала ключевую роль играют транзисторы. Они были созданы для того, чтобы выполнять основную задачу превращения входящего сигнала в более сильный выходящий сигнал, т.е. осуществлять усиление сигнала.
Существует много типов транзисторов в зависимости от того, какие задачи им предстоит выполнять. Рассмотрим, например, транзистор, который профессионалы называют МОП-ПТ (металл-оксид-полупроводниковый полевой транзистор). На кусочке кремния поперечником в 1 см, помещённом в самом центре компьютера, находится более миллиона таких транзисторов. Это пример вездесущего чипа.
На рис. 10-5 показана схема МОП-ПТ. Слой кремния, являющегося полупроводником р-типа, помещён между двумя слоями полупроводника n-типа, которые называются истоком и стоком cоот-ветственно. Тонкий слой оксида кремния проложен между кремнием р-типа и металлической плёнкой, называемой затвором. Приложенное между истоком и стоком напряжение в общем случае создаст ток электронов от одного к другому, т.к. исток является полупроводником n-типа и может поставлять электроны в цепь. Величина тока зависит от того, сколько свободных электронов имеется в веществе между истоком и стоком. Это число можно изменять, меняя напряжение, прикладываемое к затвору. Изменения этого напряжения (например, им может быть входящий радиосигнал) воспроизводятся как изменения тока между истоком и стоком, и в этом состоит главная функция транзистора. Работа описанного транзистора напоминает поливку водой из резинового шланга. Скорость потока воды по шлангу определяется разностью давлений на его концах. Поток воды можно регулировать, сжимая шланг в какой-то точке, так что его сечение уменьшается, что приводит к ускорению потока.
Рис. 10-5. Схема полевого МОП- транзистора. Изменение напряжения на затворе изменяет число электронов, способных переносить ток через область р-типа. Это, в свою очередь, заставляет меняться ток, идущий от истока к стоку
Употребляются и другие типы транзисторов, предназначенных для определённых приложений. Но в основе работы всех таких устройств лежат две типичные для полупроводников характеристики. Во-первых, это особое расположение квантовых уровней энергии в валентной зоне и наличие отделённой от неё энергетической щелью зоны проводимости. Во-вторых, это возможность контролировать число электронов и дырок и их пространственное и энергетическое распределение путём использования переходов, легирования (примеси других веществ) и приложения напряжения.
6. Электрический ток за работой
В наши дни электричество проникает во все сферы жизни. Вдобавок ко всё возрастающей роли полупроводниковых устройств мы используем электрические токи, чтобы передвигаться, производить теплоту, свет, магнитные поля и пр. Я опишу основные связанные с электрическими токами явления, делающие эти применения возможными.
Создание движения с помощью тока, например, работа электродвигателя, обусловлено тем, что если поместить провод с током в магнитное поле, на этот провод начинает действовать сила. Это показано на рис. 10-6, где провод с током помещён в магнитное поле между северным и южным полюсами постоянного магнита подходящей формы. На провод действует сила в направлении, перпендикулярном направлениям и тока в проводе, и магнитного поля. Если изменить направление тока или поля на противоположное, то сила тоже меняет направление на противоположное. Подобрав магниты и катушки с проводами, а также источник тока, поступающего в катушки, можно сконструировать электромотор.
Рис. 10-6. Проволока с током в магнитном поле. Сила направлена за плоскость рисунка.для указанных направлений тока и магнитного поля. Изменение одного из этих направлений на противоположное приводит приводит к изменению направления силы
Когда включён электронагреватель, через него течёт ток и выделяется теплота. Пусть сила тока равна I A, а напряжение U В. Ток силой I А означает, что через нагреватель за 1 с проходит количество заряда 1 Кл (а именно, электронов). Потенциальная энергия электронов равна заряду, умноженному на напряжение. Так как напряжение вдоль цепи нагревателя падает на U В, потенциальная энергия электронов, покидающих нагреватель за 1 с, на величину UI Дж меньше, чем энергия входящих электронов. Эта энергия, теряемая электронами при прохождении через нагреватель, и есть та тепловая энергия, которая выделяется со скоростью UI Дж/с. Иными словами, мощность выделяемой тепловой энергии равна UI Вт.
Но как именно энергия электронов преобразуется в тепловую энергию в тепловыделяющем элементе нагревателя? Мы знаем, что когда ток идёт через резистор, например, через нагреватель, электроны постоянно ускоряются, а затем рассеиваются назад в состояния с меньшей энергией, а разница в энергиях проявляется в виде дополнительных фононов. Чем больше фононов в проводе, тем больше его температура.
В электронагревателе условия таковы, что энергии фононов достаточно для того, чтобы нагреть тепловыделяющий элемент до тёмно-красного цвета. В то же время в лампочке накаливания ток, протекающий через тонкую нить, доводит её до яркого белого цвета, так что нить выделяет не только теплоту, но и испускает яркий свет. В форме видимого света выделяется лишь малая доля электрической энергии, подводимой к лампочке, основная часть просто нагревает её и внешнюю среду. Люминесцентные лампы работают на совершенно ином принципе. В них кинетическая энергия электронов поглощается атомами определённого сорта, которые возбуждаются и переходят в более высокие энергетические состояния. Затем атомы возвращаются в основное состояние, отдавая разницу в энергиях в виде излучённых фотонов. Подобные осветительные приборы преобразуют электрическую энергию в энергию фотонов более эффективно, чем лампы накаливания.
Как мы видели, электрический ток, проходящий по проводу, создаёт вокруг себя магнитное поле, что можно увидеть, если поднести к проводу стрелку компаса. Это свойство тока используется для создания магнитов, представляющих собой намотанный на цилиндрический железный сердечник провод, через который пропускается электрический ток. В следующей главе мы подробнее рассмотрим магнитные свойства железа и других веществ.