В.Б.ДРОЗДОВ, г. Рязань

Выбор пути решения динамических задач

Пусть нам надо решить достаточно сложную задачу по динамике. И, хотя вряд ли можно указать конкретный путь к ответу в виде определённой последовательности шагов, в любом случае имеет смысл классифицировать такие задачи. Опыт показывает, что наиболее удачна классификация на основе характера ускорения тела. Другие классификации, например, по форме траектории, по физическим законам, по фигурирующим в задаче телам (блоки, наклонная плоскость и т.д.) менее эффективны.

Выбранная нами классификация представлена в таблице. Она, конечно, не всеобъемлющая, ведь мир физических задач весьма разнообразен, а исключения немногочисленны. Однако даже трудную задачу после отнесения к определённому типу проще решить.

Начнём с задач первого типа, для решения которых достаточно применения законов Ньютона. Отметим лишь, что совершенно не возбраняется применить вместо них закон сохранения энергии, упрощающий решение и делающий его физически красивым. Но изредка бывает, что закон сохранения энергии вырождается в тождество. Тогда его применить невозможно. Так, кстати, и случилось бы в следующей задаче.

Задача 1 (МФТИ, 1988). Космонавты, высадившись на поверхности Марса, измерили период вращения конического маятника, и он оказался равным T = 3 с. Длина нити l = 1 м. Угол, составленный нитью с вертикалью,  = 30°. Найдите ускорение свободного падения на Марсе.

Решение.

По второму закону Ньютона, ma = mg + N, где N – сила натяжения нити. В проекциях на оси X и Y векторное уравнение преобразуется в систему скалярных:

откуда a = gtg. Так как ускорение маятника где – радиус траектории вращения маятника, то из уравнения легко находим марсианское ускорение:

g = 3,8 м/с².

Задача 2 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1996). По наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, втягивают за верёвку ящик массой M. Коэффициент трения ящика о плоскость . Под каким углом к плоскости следует тянуть верёвку, чтобы двигать ящик равномерно с минимальным усилием?

Решение.

Векторное уравнение второго закона Ньютона:

Mg + F + N + F_тр = 0,

где F_тр – сила трения скольжения (|F_тр| = |N|), N – нормальная составляющая силы реакции плоскости. Проецируем это уравнение на оси координат X и Y:

Последняя система уравнений легко приводится к виду:

откуда сразу следует:

Очевидно, что минимальное значение силы F будет при максимальном значении знаменателя (числитель дроби постоянен), т.е. при

Отсюда

Переходим к задачам второго типа. Для их решения составляем динамико-энергетическую систему уравнений. Одно уравнение – по второму закону Ньютона, второе – по закону сохранения энергии. Уравнение второго закона Ньютона записываем в проекциях только на нормаль к траектории движения материальной точки. А вместо аналогичного проецирования на касательную, связанного с излишним применением высшей математики, применяем закон сохранения энергии. Это математически рационально.

Задача 3 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1971). Малый тяжёлый шарик на нити вращается в вертикальной плоскости. Покажите, что шарик не сможет вращаться, если нить не в состоянии выдержать натяжение T, превышающее силу тяжести, действующую на шарик, в 6 раз.

Решение.

Рассмотрим два положения шарика – в самом низу и в самом верху. Составим для них уравнения по второму закону Ньютона:

ma₁ = mg + T₁; ma₂ = mg + T₂,

где T₁ и T₂ – соответствующие силы натяжения нити. Спроецируем эти уравнения на вертикальную ось Y:

По закону сохранения энергии:

Окончательно получаем систему уравнений:

Теперь сложим первые два уравнения и сравним получившееся уравнение с третьим:

Сразу видим, что

Поскольку что и требовалось доказать.

Заметим, что при неравномерном движении по окружности вектор ускорения тела a не направлен к её центру. Но проекция вектора a на радиус окружности равна как и при равномерном движении. Однако строгое доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

Задача 4 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1979).

Небольшое тело соскальзывает по наклонной поверхности с высоты H = 1,2 м. Наклонная поверхность переходит в петлю. Найдите величину работы силы трения, если известно, что сила давления тела на петлю в верхней точке равна нулю, масса тела m = 10 г, радиус петли R = 0,4 м.

Решение. Работа A силы трения на пути AB отрицательна и равна изменению механической энергии тела: В точке B тело движется только под действием силы тяжести, как это следует из условия задачи. Поэтому откуда ₂ = Rg. Следовательно:

A = mg(2,5 R – H); A = –2 • 10^–2 Дж.

Окончание в  № 12/07