Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №5/2008

Материал к уроку

А. А. Найдин,
< naidin_anatoli@mail.ru >, МОУ гимназия № 44, г. Новокузнецк, Кемеровская обл.

Квантовая теория: зарождение и следствия

Квантовая теория: зарождение и следствия

А.А.НАЙДИН,
МОУ гимназия № 44, г. Новокузнецк, Кемеровская обл.

Квантовая теория: зарождение и следствия

Конспект материала к уроку, 11-й класс

1. Зарождение квантовой теории

Таким образом была найдена новая формула излучения,
которая довольно хорошо согласовывалась с
опытом до последнего времени... М.Планк

При изучении темы «Невидимые излучения оптического диапазона» строится график распределения энергии в спектре нагретого тела [1, опыт 160]. Он показывает, как зависит энергия, приходящаяся на интервал длин волн в спектре, от длины волны , рис. 1, а. На уроке полезно трансформировать этот график в график распределения энергии в спектре по частоте, используя соотношение между длиной волны и частотой электромагнитного излучения, рис. 1, б.

Рис. 1, а, б
Рис. 1

Теперь попробуем внимательно обсудить последний график в форме диалога между учителем и учениками, что позволит хорошо подготовиться к восприятию нового учебного материала.

– Что излучает свет в нагретом теле?

– Атомы.

– А точнее?

– Колеблющиеся электроны (маленькие антенны).

– Их называют электромагнитными осцилляторами. На каких частотах излучают электромагнитные осцилляторы в нагретом теле?

– Спектр излучения твёрдого тела сплошной, значит, частота излучения может быть любой.

– Есть ли осцилляторы, излучающие на больших и очень больших частотах?

– Да, но их очень мало, как и осцилляторов, излучающих на очень малых частотах. Больше всего осцилляторов излучает на средних частотах.

– Какова энергия излучения осцилляторов, колеблющихся с большой частотой, если каждый из них излучает непрерывно?

– Бесконечно большая, поскольку интенсивность излучаемой антенной электромагнитной волны прямо пропорциональна частоте в четвёртой степени: I ~ 4.

– Любое тело за время t ~10–8 с должно «сгореть синим пламенем», остынув до абсолютного нуля. График распределения энергии в спектре нагретого тела на больших частотах должен круто идти вверх – пунктирная линия на рис. б. Отсюда следует, что равновесие между излучением и веществом невозможно. Эта ситуация в физике получила название «ультрафиолетовая катастрофа».

Как объяснить реальный график распределения энергии в спектре нагретого тела? Почему не наблюдается «ультрафиолетовая катастрофа»? Ответы на эти вопросы классическая физика дать не смогла.

Уравнения классической физики оказались
неспособными объяснить, почему
угасающая печь не испускает жёлтых лучей наряду
с излучением волн больших длин волн. Х.Лоренц

Обычно подготовленные таким образом ученики сами приходят к гипотезе Планка, суть которой сводится к тому, что осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а отдельными порциями – квантами. У осцилляторов, «работающих» на больших частотах, энергия отдельной порции велика, но излучают они эти порции очень редко.

Это было сделано на уровне абстрактного
мышления, открытие дискретности там,
где его меньше всего ждали. Э.Шрёдингер

Подобные счастливые догадки есть удел тех, кто
заслужил их тяжёлой работой и глубокими
размышлениями. X.Лоренц

Моя формула излучения до сих пор удовлетворительно
оправдывалась даже при очень точных
систематических измерениях. М.Планк

Энергия кванта = h (преобразование подобия), где h = 6,63 · 10–34 Дж · с – постоянная Планка.

Теперь попробуем объяснить график распределения энергии в спектре на основе квантовых представлений. Поскольку осцилляторы излучают энергию порциями, то и поглощают ее порциями. Другими словами, энергия осцилляторов квантуется.

В вольфрамовой спирали лампочки накаливания осцилляторы получают энергию из «общего котла», которым является энергия теплового движения атомов. Почему осцилляторы, «работающие» на больших частотах, получают так мало энергии из «общего котла»?

Рассмотрим три осциллятора А, В и С, между которыми распределяется 20 единиц энергии [2]. Если бы она распределилась между ними равномерно, то каждому бы досталась энергия приблизительно 6,7 единиц. Допустим, что в силу внутренних причин осциллятор А может приобретать энергию только порциями по 10 единиц, а В и С – по одной единице. Тогда с равной вероятностью возможны приведённые в табл. 1 случаи распределения энергии. в среднем при каждом распределении А получает из «общего котла» всего 3,9 единиц энергии, а В и С – по 8 единиц! [Эти результаты легко получить: сложите значения энергии, полученной данным осциллятором в каждом очередном случае (числа в столбике под названием осциллятора), и поделите сумму на число случаев. Это среднее арифметическое и будет ответом. Например, для осциллятора А в табл. 1 имеем: (20 + 10 · 11) : 33 = 3,9. – Ред.]

Более того, если в силу тех же причин осциллятор А будет приобретать энергию порциями по 20 единиц, то с равной вероятностью возможны другие распределения энергии (табл. 2), и теперь уже А получит всего лишь 0,9 единицы энергии, тогда как В и С по 9,5 единицы! Теперь хорошо видно, что «работающие» на большой частоте осцилляторы получают меньше энергии теплового движения (крупного выигрыша можно и не дождаться!) и, следовательно, очень редко излучают. Поэтому график распределения энергии в спектре на больших частотах идёт вниз.

Вывод. Осцилляторы, излучающие на больших частотах, получают гораздо меньше энергии теплового движения и, следовательно, очень редко излучают.

Теперь познакомим учеников с явлением внешнего фотоэффекта [1, опыты 167–169]. Почему отрицательно заряженная пластина теряет свой заряд под действием ультрафиолетовых лучей, а положительно заряженная не теряет?

Определение: фотоэффект – явление выбивания электронов электромагнитным излучением из вещества.

Некоторые закономерности фотоэффекта:

– демонстрация фотоэффекта на разных металлах. Понятие работы выхода электрона из металла. У какого металла работа выхода электрона меньше?

– демонстрация зависимости интенсивности фотоэффекта от освещённости поверхности;

– почему не наблюдается фотоэффект, если закрыть источник ультрафиолетового излучения стеклянным светофильтром?

– демонстрация безынерционности фотоэффекта.

Основные количественные закономерности фотоэффекта будут установлены на следующем уроке, но уже сейчас ученикам можно сообщить, что классическая электродинамика не смогла объяснить это явление. Для закрепления можно предложить такие вопросы: Какие значения может принимать энергия осциллятора с точки зрения квантовых представлений? Откуда осцилляторы получают энергию? Если все тела излучают, то почему мы не видим в темноте? Что такое «темнота»? Почему КПД лампочки накаливания всего 4–5%? Почему она излучает очень мало в ультрафиолетовом диапазоне? Как повысить КПД такой лампы? Как работают ксеноновые лампы?

Полезны также задачи, которые можно решить как на данном уроке, так и на следующем во время опроса.

Задача 1. Зная, что свет состоит из порций энергии – квантов, – определите интервал энергий квантов видимого излучения.

Задача 2. Сколько квантов испускала бы лампа мощностью 100 Вт за 1 с, если бы она излучала монохроматический свет длиной волны 0,66 мкм?

Задача 3. Капля воды диаметром 0,2 мм нагревается светом длиной волны 0,7 мкм, поглощая ежесекундно 1010 квантов света. Определите скорость нагревания капли.

Задача 4. Рентгеновское (тормозное) излучение возникает при бомбардировке быстрыми электронами металлического антикатода рентгеновской трубки. Определите длину волны коротковолновой границы спектра тормозного излучения, если скорость электронов составляет 40% от скорости света в вакууме. Энергия покоя электрона 0,5 МэВ.

Но дело не в одном здравом рассудке. Крайне
важно ещё хорошее применение его. Р. Декарт

2. Следствия квантовой физикиРис. 2

Учитель. Сегодня на уроке мы рассмотрим одно из следствий квантовой физики, имеющее очень важный прикладной характер. Мы изучим случай одномерного движения микрочастицы внутри потенциальной ямы длиной l с бесконечными стенками, рис. 2 [3]. Нам точно известно, что частица массой m находится где-то между стенками и имеет какую-то скорость, однако о местонахождении частицы, её импульсе и энергии нам ничего неизвестно. Попробуем извлечь дополнительную информацию о частице, рассматривая её как волну с длиной волны и некоторой амплитудой. Ясно, что за границами ямы вероятность обнаружить частицу равна нулю, поэтому на краях ямы амплитуда волны должна обращаться в нуль (квадрат амплитуды волны определяет вероятность нахождения частицы в данной области пространства). Волны такого типа нам известны и называются стоячими волнами. С учётом граничных условий в пространстве между стенками могут существовать только такие стационарные состояния, в которых на длине l укладывается целое число полуволн где n – номер стационарного состояния. Пользуясь соотношением де Бройля относящимся к основам квантовой физики, мы получим выражение для импульса и для энергии частицы

Дополнительное описание позволило нам извлечь неожиданную информацию о частице. Оказалось, что её импульс может принимать только дискретные значения, кратные величине h/(2l). Дискретные значения принимает и энергия частицы. Если в основном состоянии её энергия то во втором стационарном состоянии (первое возбуждённое состояние) она равна   в третьем (второе возбуждённое) Е3 = 9E1, в nEn = n2 · Е1 и т.д.

Вывод. Энергия и импульс микрочастицы, «зажатой» в малой области пространства, квантуются.

Примером такой частицы может быть электрон в атоме водорода, который вращается вокруг протона с некоторой скоростью, рис. 3. Электрон обладает некоторым импульсом, следовательно, его можно рассматривать как волну c длиной волны

Рис. 3
Рис. 3

Стационарными будут только такие состояния, в которых на длине орбиты электрона укладывается целое число длин волн.

где n – номер стационарного состояния. Из последнего выражения легко получить правило квантования орбит Бора:

Выведем формулы для определения радиусов орбит электрона в атоме водорода и значений энергии его стационарных состояний. Силой, заставляющей электрон двигаться по круговой орбите вокруг ядра, является кулоновская сила, поэтому

С учётом правила квантования орбит последнее выражение легко переписать: откуда следует формула для расчёта радиусов орбит электрона в атоме водорода

Подставив в формулу n = 1, мы определим радиус первой боровской орбиты r1 = 0,5 · 10–8 см, что хорошо согласуется со справочными данными о размерах атома водорода. Во втором стационарном состоянии (первое возбуждённое состояние) r2 = 4r1, радиус n-й орбиты электрона rn = n2 r1.

Движущийся по орбите электрон обладает кинетической и потенциальной энергией, его полная энергия (связанное состояние).

Поскольку радиус орбиты электрона квантуется, то энергию электрона в стационарных состояниях легко определить по формуле:

Подставляя в формулу n = 1, определим энергию основного состояния атома водорода E1 = –13,6 эВ; подставляя n = 2, – энергию первого возбуждённого состояния Е2 = –13,6 эВ/4 = –3,4 эВ; подставляя n, – энергию (n – 1) возбуждённого состояния, En = –13,6/n2 эВ.

Поразительно, что, применив дополнительное описание к электрону в атоме водорода, мы обнаружили, что энергия и импульс электрона квантуются, а законы механики Ньютона не дают исчерпывающей информации о его поведении в атоме. Эту информацию дают законы квантовой физики. Законы механики Ньютона нельзя применять для описания движения микрочастиц, заключённых в малых областях пространства.

В заключение урока полезно решить задачи типа [4]:

Задача 1. Какое минимальное расстояние можно разрешить с помощью электронного микроскопа, в котором используется пучок электронов энергией 1000 эВ?

Задача 2. Если бы электрон был заключён в обла сти столь малой, как атомное ядро (10–14 м), то какова была бы его минимально возможная энергия? Во сколько раз она превысит энергию покоя электрона?

Литература

1. Буров В.А., Зворыкин Б.С., Кузьмин А.П. и др. Демонстрационный эксперимент по физике в старших классах средней школы. – М.: Просвещение, 1972.

2. Каройхази Ф. Истинное волшебство. – М.: Атомиздат, 1980.

3. Найдин А.А. Обобщающий урок по квантовой физике. – Физика в школе, 1991, № 2.

4. Задачи по физике: Под ред. О.Л. Савченко. – М.: Наука, 1988.