Спецвыпуск

Решение задач с использованием производной

··· Решение задач: примеры, методы, приёмы ···

А.Н.ДОЛГУШИН,
МОУ СОШ № 23 с УИОП,
г. Воскресенск, Московская обл.

dolgushin23fizika@yandex.ru

Решение задач с использованием производной

В рамках авторского профильного курса «Практикум решения физических задач»,
11-й класс.
Базовый уровень

Знать физику – значит уметь решать задачи.

Э.Ферми

Основными целями и задачами факультативного курса «Практикум решения физических задач» являются: знакомство учащихся с основными типами физических задач: расчётными, качественными, графическими, исторического содержания, технического содержания, межпредметного характера, комбинированными, задачами-оценками; формирование знаний, умений и навыков решения физических задач, в том числе повышенной сложности; ознакомление с разными способами решения физических задач: логическим, математическим (арифметическим, алгебраическим, графическим, геометрическим) и экспериментальным; разбор типовых заданий на вступительных экзаменах в технические вузы (МЭИ, МГТУ им. Н.Э.Баумана).

Подборка задач соответствует основным темам школьного курса физики, где можно использовать элемент математического анализа – производную:

– «Кинематика»: если изменение координаты задано уравнением вида x = x(t), то производная первого порядка от координаты по времени есть скорость, т.е. (t) = x'(t), а производная второго порядка от координаты по времени, или производная первого порядка от скорости по времени, есть ускорение, т.е. a(t) = x"(t) = ' (t);

– «Импульс»: при определении импульса по формуле p = m он определяется по скорости тела как производной от координаты по времени.

– «Механические колебания»: энергетический подход (метод производной) позволяет вывести дифференциальные уравнения второго порядка, описывающие процессы в математическом и пружинном маятниках, затем получить формулы для периодов колебаний, а также рассчитать период колебаний сложных колебательных систем;

– «Термодинамика»: использование производной позволяет решать задачи на нахождение экстремальных значений параметров в циклах идеального газа;

– «Электромагнитная индукция»: производная от магнитного потока по времени, взятая с противоположным знаком (по правилу Ленца), позволяет определить мгновенное значение ЭДС, индуцируемой в замкнутом проводящем контуре: _i = –Ф' (t);

– «Постоянный ток»: производная позволяет определить величину внешнего сопротивления в цепи постоянного тока, при которой полезная мощность принимает максимальное значение;

– «Электромагнитные колебания»: энергетический подход (метод производной) позволяет вывести дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее процессы в идеальном колебательном контуре, а затем получить формулу Томсона;

– «Цепи переменного тока»: производная позволяет установить разность фаз между колебаниями электрического заряда на обкладках конденсатора и силы тока в цепи с ёмкостным сопротивлением;

– «Геометрическая оптика»: используя принцип Ферма, можно вывести закон преломления света.

Рассмотрим некоторые задачи.

Кинематика. Закон сохранения энергии

• [1]. Движение материальной точки описывается уравнениями: x = 10 cos 3t, y =10 sin 3t. [x] = см, [y] = см, [] = c^–1. Определите скорость, ускорение и траекторию точки.

Решение

– Скорость: ² = _x² + _y². Используя механический смысл производной, после преобразований получаем = 30 см/с.

– Ускорение: a² = a_x² + a_y². Используя механический смысл производной, после преобразований получаем a = 90 см/с².

– Траектория: уравнение траектории движущейся точки определяется зависимостью: y = f(x), т.е. позволяет исключить переменную t. Целесообразно обе части исходных уравнений движения материальной точки возвести в квадрат, а затем сложить. Используя основное тригонометрическое тождество cos² + sin² = 1, после преобразований получаем x² + y² = 100, что соответствует уравнению окружности радиусом 10 см с центром в точке с координатами (0; 0).

• [2]. Небольшое тело соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой H, имеющей горизонтальный трамплин высотой h. При какой высоте h тело пролетит наибольшее расстояние s по горизонтали? Чему равно это расстояние?

Решение

Связываем нулевой уровень с поверхностью Земли, используем закон сохранения механической энергии: mgH = mgh + m²/2. С момента отрыва тела от трамплина используем кинематические уравнения движения тела, брошенного горизонтально:

h = gt²/2 – по вертикали;

= s/t – по горизонтали, т.к. g_x = 0.

Время падения по вертикали совпадает со временем движения тела по горизонтали. В итоге получаем выражение для скорости в момент отрыва тела от трамплина: – которое подставляем в выражение для закона сохранения энергии. После преобразования получаем зависимость

Далее исследуем полученную зависимость, находим производную по переменной h и приравниваем её к нулю (s'_h = 0):

т.е. расстояние s будет наибольшим при h = H/2, когда производная обращается в нуль: 4H – 8h = 0.

Подставляя полученное выражение для высоты трамплина h = H/2 в формулу для s, получаем s = H.

Импульс

• [3]. Движение материальной точки в единицах СИ описывается уравнением x = 5 – 8t + 4t². Приняв массу точки равной 2 кг, найдите её импульс через 2 с и через 4 с от начала отсчёта времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

Решение

Уравнение скорости с учётом механического смысла производной имеет вид: = –8 + 8t. Тогда импульс через 2 с от начала отсчёта времени: p₂ = 16 кг · м/с, а импульс через 4 с: p₄ = 48 кг · м/с.

Сила, которая вызывает это изменение импульса, определяется с учётом второго закона Ньютона в импульсной форме: F = (p₄ – p₂)/t, где t = 2 с. Численно получаем: F = 16 Н.

Механические колебания

• [1]. Материальная точка массой m движется вдоль оси X по закону x = A sint, где A, – некоторые постоянные, t – время. Определите модуль изменения импульса материальной точки с момента времени t = t₁ до момента времени t = t₂.

Решение

По механическому смыслу производной скорость определяется выражением: =Acost. Тогда модуль изменения импульса определяется выражением:

p = mA|cost₂ – cost₁|.

• [ЕГЭ]. Тело, подвешенное на пружине, совершает свободные гармонические колебания частотой . С какой частотой происходит изменение кинетической энергии тела?

Решение

Пусть координата тела изменяется по закону x = x₀sint. Используя механический смысл производной, находим закон изменения скорости: = x' = x₀cost. Тогда кинетическая энергия тела W_k = m²/2 = (mx₀²²cos²t)/2. С учётом тригонометрического тождества cos²t = (1 +
+ cos2t)/2, получаем:

W_k = mx₀²²(1 + cos2t)/4,

следовательно, изменение кинетической энергии колеблющегося тела происходит с частотой 2.

• [2]. Брусок подвешен за края к потолку на двух одинаковых пружинах жёсткостью k каждая и притянут к полу пружиной жёсткостью 2k. Масса бруска m. Определите период колебаний бруска.

Решение

Важно отметить, что сила тяжести, действующая на брусок, постоянна, поэтому на период колебаний не влияет. Для доказательства рассмотрим груз, подвешенный на вертикальной пружине. В положении равновесия справедливо равенство: mg = kx₀. В процессе колебаний, для произвольного момента времени (например, при дополнительном растяжении на величину x) второй закон Ньютона в скалярной форме имеет вид: –k(x₀ + x) + mg = mx".

После преобразований получаем уравнение, в котором исключена сила тяжести: –kx = mx". Далее приходим к дифференциальному уравнению второго порядка, описывающему колебания пружинного маятника с вертикальной пружиной:

Полученный результат показывает, что постоянная сила тяжести не влияет на период колебаний.

С учётом закона сохранения механической энергии в любой момент времени W_k + W_упр = const, т.е.

Далее находим производную от обеих частей:

Термодинамика. Газовые законы

• [4]. Состояния идеального газа в количестве = 1 моль в ходе некоторого процесса изображаются точками, лежащими на отрезке прямой AB: V_A = 0, p_A = p₀; V_B = V₀, p_B = 0. Найдите зависимость температуры газа от объёма и определите максимальную температуру газа в ходе такого процесса.

Решение

В соответствии с графиком составляем уравнение прямой: y = –kx + b, где y = p, x = V, b = p₀;

Заменяя переменные, получаем:

Зная уравнения Клапейрона–Менделеева pV = RT, находим зависимость температуры идеального газа от объёма:

Находим производную и приравниваем её нулю:

Решая последнее уравнение, получаем, что температура максимальна при V = V₀/2. Подставляя это значение в выражение для температуры, после преобразований получаем

Электромагнитная индукция

• [2]. Проводящий контур площадью S = 400 см², в который включён конденсатор ёмкостью C = 10 мкФ, расположен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Магнитная индукция возрастает по закону
B = (2 + 5t)10^–2 Тл, где t – время в секундах. Определите энергию электрического поля конденсатора. Укажите, какая обкладка конденсатора заряжается положительно.

Решение

Изменение магнитной индукции приводит к появлению в цепи электрического тока (между обкладками конденсатора – диэлектрик), конденсатор начнёт заряжаться, следовательно, между его обкладками возникнет электрическое поле энергией W = CU²/2 = C_i²/2, где
_i = –Ф_t' = –(BScos)_t' – ЭДС, наводимая между обкладками конденсатора. Площадь контура постоянна, = B^n = 0° (по условию),
cos 0° = 1, поэтому:

_i = –S · B_t' = –4 · 10^–2 · 5 · 10^–2 = –2 · 10^–3 (В).

Подставляя найденное значение в выражение для энергии электрического поля заряженного конденсатора, получаем W = 20 · 10^–12 Дж.

Чтобы определить, какая из обкладок конденсатора зарядится положительно, используем правило Ленца: т.к., по условию задачи, величина магнитной индукции увеличивается, то вектор магнитной индукции внешнего магнитного поля B направлен противоположно вектору магнитной индукции магнитного поля B_i наведённого в контуре тока. Зная направление B_i и правило правой руки (правого винта), определяем направление индукционного тока: против часовой стрелки. Поскольку за направление электрического тока принимают упорядоченное движение положительно заряженных частиц, то приходим к выводу, что нижняя обкладка конденсатора заряжается положительно.

• [5]. Рамка площадью S = 100 см² расположена перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого изменяется по закону B = ct³ – at², где c = 1 Тл/с², t – время в секундах, a = 3 Тл/с³. Сопротивление рамки R = 10^–2 Ом. В какой момент времени индукционный ток максимален? Чему он равен?

Решение

Найдём зависимость индукционного тока от времени: I_i = _i/R, где _i = –Ф_t' = –(BScos)_t' = –SB_t' = –S(ct³ – at²)_t' = –S(3ct² – 2at), т.е.
I_i = –S(3ct² – 2at)/R.

Исследуем полученную зависимость, т.е. найдём производную и приравняем её нулю:

При индукционный ток принимает максимальное значение:

Находим числовые значения: t = 1 с, I_{i max} = 3 А.

• [3]. В цепи, представленной на рисунке, L₁ = 0,02 Гн, L₂ = 0,01 Гн. Силы токов изменяются во времени по законам: I₁ = 0,2 + 10t, I₂ = 0,1 + 10t. Найдите сопротивление R. Величины токов заданы в СИ.

Решение

При параллельном соединении участков цепи:

Следовательно:

Геометрическая оптика

• [1]. На каком расстоянии d_min надо поместить предмет от собирающей линзы с фокусным расстоянием F, чтобы расстояние от предмета до его действительного изображения было наименьшим?

Решение

Выполним рисунок. Используем формулу тонкой линзы с учётом правила знаков: из которой выразим расстояние от оптического центра собирающей линзы до предмета:

Расстояние от предмета до его действительного изображения Исследуем последнее выражение, для чего найдём производную от s по d и приравняем её нулю:

Из равенства d² – 2dF = 0 следует d_min = 2F. При этом значении d расстояние от предмета до его действительного изображения будет наименьшим: s_min = 4 F.

Литература

1. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика. Сборник задач для поступающих в вузы: Изд. 5-е, доп. – М.: Демиург-Арт, 2001.

2. Славов А.В., Спивак В.С., Цуканов В.В. Сборник задач по физике: Учеб. пособие для довуз. подгот.: Под ред. А.В.Славова: Изд 7-е, испр. и доп. – М.: Издательство МЭИ, 2006.

3. Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10–11 кл. – М.: Дрофа, 2006.

4. Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М. Сборник задач по физике для 10–11 классов с угл. изучением физики: Под ред. С.М.Козела. – М.: Вербум, 2003.

5. Турчина Н.В. Физика: 3800 задач для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2000.

Ещё два примера решения задач с помощью производной приведены в рубрике «Дополнительные материалы» к № 12 на сайте газеты http://fiz.1september.ru