Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №2/2009

Абитуриенту

А. В. Карговский,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
А. А. Коновко,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
проф. В. А. Макаров,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
С. Ю. Никитин,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
И. П. Николаев,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
Н. Б. Подымова,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
М. С. Полякова,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
С. С. Чесноков,
< sergeychesnokov@mail.ru >, физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
проф. В. И. Шмальгаузен,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва

МГУ-2008: Вступительные экзамены по физике на факультет ВМК

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Продолжение. См. № 23/08

I. Механика

рис.1

7 Два маленьких шарика массами m и 2m движутся в одной плоскости так, что их импульсы направлены взаимно перпендикулярно, а модули импульсов равны соответственно p и p/2. Шарики сталкиваются, причём после соударения модуль импульса шарика массой m становится равным p/2, а модуль импульса шарика массой 2m становится равным p. Какое количество теплоты Q выделилось при соударении шариков? Действием всех внешних сил пренебречь.

Решение

Картина столкновения шариков изображена на рисунке. Модули скоростей шариков массами m и 2m до столкновения равны соответственно:

формула1

После соударения шарики приобретают скорости

формула2

Кинетическая энергия шариков до столкновения равна

формула3

а после столкновения принимает значение

формула4

Количество теплоты, выделившееся при ударе, равно изменению кинетической энергии шариков:

Q = E0E.

Ответ: формула5

8 Два шарика массами m1 = 2 г и m2 = 6 г лежат на гладком горизонтальном столе. Между шариками располагается лёгкая пружина. Если сблизить шарики, сжав пружину, а затем, удерживая на месте шарик массой m2, отпустить шарик массой m1, то он отлетает со скоростью υ0 = 2 см/с. С какими скоростями υ1 и υ2 разлетятся шарики, если сблизить их до расстояния, при котором сжатие пружины окажется в n = 2 раза меньше, чем в первом случае, и отпустить оба шарика одновременно?

Решение

Пусть k – жёсткость пружины, x0 – сжатие пружины в первом случае. По закону сохранения механической энергии имеем:

формула6

Когда шарики отпускают одновременно, по закону сохранения импульса: m1υ1 = m2υ2.

Получаем ответ:

формула7
рис.2

9 Два одинаковых бруска покоятся на шероховатой горизонтальной поверхности. В один из брусков попадает пластилиновый шарик, летящий с некоторой скоростью, и прилипает к нему. В другой брусок попадает металлический шарик такой же массы, летящий с такой же скоростью, что и пластилиновый. После упругого удара о брусок металлический шарик отскакивает назад со скоростью, вдвое меньшей начальной. Найдите отношение путей, пройденных брусками после удара, считая их движение поступательным.

Решение

Пусть m – масса каждого из шариков, υ – их скорость до соударения. M – масса каждого из брусков. При соударении пластилинового шарика с первым бруском выполняется закон сохранения импульса:

mυ = (m + M)u1,

откуда формула8

При соударении металлического шарика со вторым бруском выполняются законы сохранения импульса и механической энергии:

формула9

Из этой системы находим:

формула10

Подставляя найденное отношение масс в выражение для u1, получаем u1 = υ/4

Поскольку бруски движутся с одинаковыми ускорениями, отношение путей, пройденных брусками до остановки,

формула11

Ответ. n = 1/4

рис.3

10 Два маленьких шарика подвешены на нитях так, что в положении равновесия нити вертикальны, а шарики соприкасаются друг с другом и их центры находятся на одной высоте. Длина нити подвеса левого шарика l1 = 10 см, отношение масс шариков m2/m1 = n = 3. Левый шарик отклоняют на некоторый угол α от вертикали и отпускают без начальной скорости. Определите величину a, если максимальная высота, на которую поднимается левый шарик после первого соударения с правым шариком, h1 = 1,25 см. Нити считать невесомыми и нерастяжимыми, соударение шариков – абсолютно упругим.

Решение

Пусть υ0 – модуль скорости первого шарика непо­средственно перед соударением со вторым шариком, υ1 и υ2 – горизонтальные проекции скоростей шариков сразу после соударения. Из законов сохранения энергии и импульса вытекают равенства

формула12

Из этих равенств следует, что

формула13

Учитывая, что формула14 находим

формула15

Ответ. формула16

 

рис.4

11 На горизонтальных рельсах стоит тележка массой M. В неё бросают шар массой m, который ударяется о правую стенку тележки и падает на её дно, застревая в насыпанном на дно песке. В момент, когда шар пролетал над левой стенкой тележки, его скорость была равна υ0 = 4 м/с и направлена горизонтально, а высота над поверхностью песка составляла H = 1,8 м. Какой путь s пройдёт тележка к моменту падения шара на песок, если длина тележки L = 2 м? Удар шара о стенку считать абсолютно упругим, стенку и шар гладкими, трением при движении тележки и размером шара пренебречь. При расчёте положить m = M/9. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.

Решение

При упругом ударе шара о правую стенку тележки сохраняются горизонтальная проекция импульса и механическая энергия. Имеем:

формула17

где u – скорость тележки, υ – горизонтальная проекция скорости шара после удара. Из этой системы находим

формула18

Поскольку вертикальная проекция скорости шара при ударе о гладкую стенку не меняется, время τ движения мяча с момента, когда он пролетает над левой стенкой, до попадания в песок равно времени свободного падения с высоты H: формула19 Время движения мяча с момента, когда он пролетает над левой стенкой, до удара о правую стенку, τ1 = L/υ0. Приобретя после удара скорость u, тележка пройдёт до момента падения шара на песок путь s = uτ1).

Ответ. формула20

Продолжение следует