Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №11/2009

Абитуриенту

А. В. Карговский,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
А. А. Коновко,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
проф. В. А. Макаров,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
С. Ю. Никитин,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
И. П. Николаев,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
Н. Б. Подымова,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
М. С. Полякова,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
С. С. Чесноков,
< sergeychesnokov@mail.ru >, физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
проф. В. И. Шмальгаузен,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва

МГУ-2008: Вступительные экзамены по физике на факультет ВМК

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Продолжение. См. № 02, 05, 08/09

II. Молекулярная физика и термодинамика (окончание)

6 Металлический шарик, нагретый до температуры t = 60 °C, положили в стакан с водой, имеющей температуру t0 = 20 °C. После достижения теплового равновесия температура воды в стакане стала равной t1 = 30 °C. Затем шарик переложили в другой стакан с таким же количеством воды, имеющей температуру t0. Какая температура t2 установится в этом стакане? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение

Пусть сш – теплоёмкость шарика, а св – теплоёмкость стакана с водой. Уравнения теплового баланса имеют вид:

сш(tt1) = св(t1t0) (когда шарик положили в первый стакан),

сш(t1t2) = св(t2t0) (когда шарик переложили во второй стакан).

Из этих выражений следует равенство:

формула1

Выражая из него t2, находим ответ:

формула2

рис.1

7 Два сообщающихся сосуда разного поперечного сечения заполнены жидкостью при температуре t0 = 0 °C до высоты h. Площадь поперечного сечения правого сосуда S. Левый сосуд до высоты h имеет сечение площадью 2S, а выше этого уровня – сечение площадью S. В правом сосуде температуру жидкости поддерживают неизменной и равной t0, а в левом сосуде жидкость нагревают до температуры t1. На какую величину Dhпр поднимется при этом уровень жидкости в правом сосуде? Температурный коэффициент объёмного расширения жидкости равен b. Тепловым расширением сосудов и объёмом соединительной трубки пренебречь.

Решение

Пусть ρ0 – плотность жидкости при температуре t0. Тогда при температуре t1 плотность жидкости будет

формула3

Поскольку полная масса жидкости в сосудах не изменяется, справедливо равенство:

ρ0(2S + S)h = ρ1(2Sh + SΔhл) + ρ0S(h + Δhпр),

где Δhл и Δhпр – перемещения уровней жидкости в левом и правом сосудах. Условие равновесия жидкости имеет вид:

ρ1g(h + Δhл) = ρ0g(h + Δhпр).

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

формула4

 

III. Электродинамика

рис.2 1 Два конденсатора, заряженные до одного и того же напряжения, имеют энергии W1 и W2. Разноимённо заряженные обкладки конденсаторов соединили с помощью двух проводников. Какая энергия Q выделилась в проводниках при разрядке конденсаторов?

Решение

Пусть С1 и С2 – ёмкости конденсаторов, U0 – напряжение, до которого они заряжены. Тогда заряды на конденсаторах q1 = С1U0, q2 = С2U0, а их энергии

формула5

После соединения разноимённо заряженных пластин модуль заряда на каждой паре пластин будет q = |q1q2| = = |С1С2|U0. Следовательно, энергия конденсаторов после перезарядки

формула6

Изменение энергии конденсаторов в процессе перезарядки равно энергии, выделившейся в проводниках: Q = W1 + W2W′. После несложных преобразований находим, что

формула7

 

2 Два одинаковых конденсатора ёмкостью C каждый соединены последовательно и постоянно подключены к источнику с ЭДС ЭДС и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением. В некоторый момент времени параллельно одному из конденсаторов подсоединили резистор. Какое количество теплоты Q выделится в этом резисторе в процессе перераспределения зарядов в конденсаторах, если перед подключением резистора заряды на конденсаторах были одинаковы?

Решение

В начальном состоянии заряд на каждом конденсаторе формула8 энергия системы формула9

При подключении резистора к одному из конденсаторов этот конденсатор полностью разрядится, а второй зарядится до напряжения ЭДС. Поэтому конечная энергия системы формула10

При перезарядке конденсаторов источник переместит по цепи заряд q, совершив работу формула11

Из закона изменения энергии следует, что A + W1 = W2 + Q.

Ответ. формула12

 

3 Плоский конденсатор, подключённый к источнику с ЭДС ЭДС, состоит из двух квадратных обкладок площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга. Между обкладками расположена диэлектрическая пластинка с диэлекрической проницаемостью ε, заполняющая весь объём конденсатора. Пластинку начинают медленно выдвигать вдоль одной из сторон конденсатора с постоянной скоростью υ0. Какой по величине и направлению ток I будет течь в цепи источника при этом? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Решение

Пусть пластинка выдвинута из конденсатора на расстояние x. Ёмкость конденсатора и заряд на нём при этом будут:

формула13

где формула14 За малое время Δt пластинка переместится на расстояние Δx = υ0Δt, а заряд конденсатора уменьшится на величину

формула15

Ток внутри источника направлен от его положительной клеммы к отрицательной.

рис.3

4 В цепи, изображённой на рисунке, ключ в течение длительного времени находился в положении 1, а конденсатор С2 был полностью разряжен. В некоторый момент ключ перевели из положения 1 в положение 2. Найдите заряды q1 и q2, которые по истечении достаточно длительного времени накопятся на конденсаторах С1 и С2 соответственно. Ёмкости конденсаторов С1 = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ, ЭДС каждого из источников ЭДС = 30 В.

Решение

рис.4

Когда ключ находился в положении 1, на конденсаторе С1 накопился заряд q0 = С1ЭДС. При переводе ключа в положение 2 заряд –q, находившийся первоначально на правой обкладке конденсатора С1, перераспределился между ней и левой обкладкой конденсатора С2. По закону сохранения заряда, на этой системе обкладок имеем: –С1ЭДС= –q1q2. При обходе контура по часовой стрелке приходим к соотношению:

формула16

Из записанной системы уравнений находим ответ:

формула17

Продолжение следует