Абитуриенту

Физфак МГУ им. М.В. Ломоносова–2009. Дистанционная олимпиада «Шаг в физику»

Продолжение. См. № 7, 8, 9/2010

11-й класс

1. На одном из туров гран-при чемпионата мира «Формула-1» гонка проходила на мокрой от прошедшего дождя трассе (cм. схему участка трассы), и с колёс гоночных машин (болидов) летели капли воды. При прохождении очередного поворота болиды двигались равномерно по дуге окружности радиусом R = 80 м с центростремительным ускорением a = 0,5g (g – ускорение свободного падения). На каком минимальном расстоянии d от трассы должны были стоять зрители гонок, чтобы на них не попадали брызги от проносящихся болидов? Сопротивлением воздуха при движении брызг можно пренебречь.

Решение

1. Поскольку сопротивление воздуха мало, движение капли после отрыва от колеса машины происходит под действием только силы тяжести. В неподвижной системе отсчёта скорость капли при отрыве от колеса равна скорости υ соответствующей точки на поверхности колеса (например, точки A на рисунке). По закону сложения скоростей υ = u + V, где u – скорость точки A относительно поступательно движущейся системы отсчёта, связанной с центром колеса, V – скорость машины. Из условия отсутствия проскальзывания колёс следует, что u = V. Выберем неподвижную систему отсчёта, координатная плоскость XY которой совпадает в данный момент времени с плоскостью заднего колеса машины, идущего на повороте по внешней дуге. Начало координат совместим с мгновенным положением центра колеса, ось X направим горизонтально в направлении движения машины, а ось Y – вертикально вверх. Очевидно, что движение капли будет происходить в плоскости XY. Как следует из рисунка, проекции на оси координат скорости капли, отрывающейся от колеса в точке A, равны:

υ_x = V + V cosα; υ_y = V sinα,

где α – угол между вертикалью и радиусом колеса, проведённым из его центра в точку A. Пренебрегая высотой колеса машины по сравнению с высотой подъёма капли, получаем время её полёта:

Горизонтальное перемещение капли за это время составит величину:

Найдём значение α = α₀, при котором это выражение максимально. Для этого приравняем производную L′(α) к нулю:

Введя обозначение z = cosα₀, получаем для z квадратное уравнение: 2z² + z – 1 = 0.

Корни этого уравнения: z₁ = 1/2, z₂ = –1. Второй корень следует отбросить, т. к. он соответствует α₀ = π, при котором L = 0. Условию задачи удовлетворяет первый корень, который даёт значение угла Следовательно, максимальная дальность полёта капель

Капли летят по касательной к дуге радиусом R, поэтому расстояние d, на которое они удаляются от трассы за время полёта, вычисляется следующим образом (см. рисунок):

Учитывая, что, по условию, получаем ответ:

Замечание. Скорость болидов при прохождении поворота Следовательно, максимальная высота подъёма капель, рассчитываемая по формуле составляет около 15 м.

Поэтому принятое при решении задачи допущение о том, что размером колеса по сравнению с высотой подъёма капель можно пренебречь, вполне оправдано.

 

2. Клин массой M = 1 кг с углом α = 30° при основании покоится на гладкой горизонтальной поверхности. На клин положили брусок массой m = 0,1 кг и ударом сообщили ему некоторую скорость, направленную вверх по клину. Найдите, какое количество теплоты выделилось в результате трения бруска о клин, если известно, что максимальная высота, на которую поднялся брусок от своего начального положения, h = 20 см. Коэффициент трения бруска о наклонную поверхность клина µ = 0,6.

Решение

Брусок и клин движутся под действием сил, изображённых на рисунке (сила тяжести и сила реакции горизонтальной опоры, действующие на клин, не показаны). В частности, к бруску приложены: сила тяжести mg, нормальная составляющая силы реакции клина N и сила трения F_тр. В свою очередь, брусок действует на клин с силами N′ и F_тр′, причём, по третьему закону Ньютона, N′ = N, F_тр′ = F_тр. Обозначим через a ускорение бруска в неподвижной системе отсчёта. В соответствии с законом сложения ускорений, a = a₀ + a₁, где a₀ – ускорение клина, a₁ – ускорение бруска относительно клина. Применяя к бруску второй закон Ньютона, имеем:

m(a₀ + a₁) = mg + N + F_тр,

или, в проекциях на оси координатной системы, изображённой на рисунке,

Уравнение движения клина в соответствии со вторым законом Ньютона имеет вид

Ma₀ = N sinα + F_тр cosα.

Учитывая, что, по закону сухого трения, модуль силы трения скольжения F_тр = μN, получаем следующую систему уравнений:

Решая эту систему, находим модуль силы нормального давления бруска на поверхность клина:

Модуль суммарной работы сил F_тр и F_тр′ равен произведению модуля силы трения скольжения на модуль перемещения бруска относительно клина: |A_тр| = μNh/sinα. Учитывая, что, по закону сохранения энергии, количество теплоты, выделившееся при скольжении бруска по клину, Q = |A_тр|, получаем:

Продолжение следует