Абитуриенту

МЭИ (ТУ)-2008: Вступительные испытания по физике

Окончание. См. № 4, 8/09

Задача 16

Лестница опирается на гладкую вертикальную стенку, образуя с ней угол α = 30°. Нижний конец лестницы находится на шероховатом полу. При каком коэффициенте трения между лестницей и полом человек, взбирающийся вверх по лестнице, сможет достичь её вершины? Масса человека в n = 3 раза больше массы лестницы.

Решение

Используем два условия равновесия: сумма сил равна нулю:

m₁g + m₂g + N₁ + N₂ + F = 0.       (1)

и сумма моментов сил относительно верхнего конца лестницы равна нулю:

Здесь m₁ – масса лестницы, m₂ – масса человека, l – длина лестницы.

Чтобы человек мог подняться по лестнице, сила трения покоя должна быть не больше силы трения скольжения (F_тр ≤ µN₁).

Проецируя уравнение (1) на ось Y с учётом m₂ = nm₁ и F_тр ≤ µN₁ и преобразуя уравнение (2), получим:

 

Задача 17

Кубик массой m = 1 кг движется по наклонной плоскости, расположенной под углом α = 30° к горизонту, на двух небольших выступах. Определите силы, действующие в местах контакта кубика с плоскостью. Коэффициент трения µ = 0,05.

Решение

Так как в условии задачи одновременно заданы угол α и коэффициент трения µ, то кубик движется равноускоренно. Следовательно, для использования при решении условий равновесия сумму моментов сил находим относительно центра масс кубика, и сумму сил рассматриваем в проекции на ось Y системы отсчёта, связанной с кубиком. Этим самым мы исключаем при решении инерциальную силу, которая приложена к центру масс и направлена против оси Х, т.е. решаем задачу в неинерциальной системе отсчёта:

 

Задача 18

В двух сообщающихся цилиндрических сосудах с одинаковым поперечным сечением S = 1 · 10^-2 м² находится ртуть. В один из сосудов поверх ртути наливают воду массой m₁ = 25 кг и в неё опускают плавать груз массой m₂ = 2,2 кг. На какую высоту h переместится уровень ртути во втором сосуде? Плотность ртути ρ_рт = 13,6 · 10³ кг/м³.

Решение

По закону Паскаля, давление на ртуть в сечении II будет в обоих коленах одинаковым. Давление в левом колене в правом P_прρ_ртg · 2h, где h – высота перемещения уровня ртути в правом колене, сечение I – первоначальный уровень ртути.

Тогда Окончательно получим:

 

Задача 19

Плавающий куб погружён в ртуть на 1/3 своего объёма. Какая часть куба будет погружена в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью закрывающий куб? Плотность ртути ρ_рт = 13,6 · 10³ кг/м³, плотность воды ρ_в = 1,0 · 10³ кг/м³.

Решение

По условию плавания, mg = F_A1 + F_A2, где F_A1 – сила Архимеда, действующая на куб со стороны ртути, F_A2 – со стороны воды.

F_A1 = ρ_рт gV₁ = ρ_рт gxa²;

F_A2 = ρ_в gV₂ = ρ_в ga²(a – x).

Здесь V₁ – часть объёма куба со стороной а, находящейся в ртути, V₂ – часть объёма, находящаяся в воде, x – глубина погружения в ртуть.

После подстановки получим

m = ρ_рт xa² + ρ_в(a – x)a².       (1)

При отсутствии воды mg = ρ_ртgV. Так как V = 1/3a³, то

m = 1/3ρ_ртa³.       (2)

Из (1) и (2) получим

 

Задача 20

В озере плавает плоская льдина массой m = 36 кг и площадью S = 0,2 м². Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью утопить льдину? Плотность льдины ρ_л = 900 кг/м³, плотность воды ρ_в = 1,0 · 10³ кг/м³.

Решение

Исходя из условия плавания льдины:

F_A + F + mg = 0,

где F_A – сила Архимеда, F – сила, которую прикладывают, топя льдину, модуль силы F меняется от нуля до максимального значения, когда льдина будет полностью утоплена. В проекции на ось Х получим F_A – F – mg = 0, или

F = F_A – mg = ρ_вgS(H – x) – mg,       (1)

где H – толщина льдины.

Из условия плавания льдины при отсутствии силы F следует, что

mg = ρ_вgS(H – h ),       (2)

где в этом случае x = h – расстояние от верхней плоскости льдины до воды.

Из уравнений (1) и (2) получим

F = ρ_вgS(h – x).       (3)

При x = 0 F_max = ρ_вgSh.

Зависимость модуля силы F от расстояния x, как видно из уравнения (1), является линейной. Тогда работу, которую надо совершить, чтобы утопить льдину, можно рассчитать как

Из уравнения (2), подставив получим

Подставив h в формулу для работы, окончательно найдём: