Абитуриенту
В. С.
Виноградов,
МАИ (ТУ), г. Москва;
М. В.
Котельников,
МАИ (ТУ), г. Москва;
Г. Э.
Солохина,
МАИ (ТУ), г. Москва
МАИ-2007: Приёмные экзамены по физике на дневное отделение
Продолжение. См. № 3, 7, 10/09
Вариант 40 (продолжение)
2. На графике представлена зависимость скорости грузового лифта от времени. В какой промежуток времени сила давления груза на пол совпадает по величине с силой тяжести, действующей на груз? Ответ обосновать.
Дано: mg = Fдавл. |
Решение 
Запишем второй закон Ньютона для груза в лифте: N + mg = ma. По третьему закону Ньютона, Fдавл = – N. Следовательно, получаем – Fдавл + mg = ma. Из этого выражения следует, что сила тяжести груза будет равна силе давления Fдавл, если ускорение груза (и лифта) будет равно нулю. Рассмотрим график изменения скорости движения тел. На первом участке в промежутке времени 0 ≤ t ≤ 1 c скорость лифта линейно увеличивается, следовательно, движение равноускоренное (а > 0). На третьем участке в промежутке времени 3 с ≤ t ≤ 4,5 c скорость лифта линейно уменьшается, следовательно, движение равнозамедленное (а < 0). И, наконец, на втором участке в промежутке времени 1 с ≤ t ≤ 3 c скорость движения лифта постоянна, т.е. ускорение тел а = 0. Из всего сказанного следует, что сила тяжести mg груза будет равна силе давления Fдавл на втором участке в течение времени Δt = 3 – 1 = 2 с. |
Δt1 = ? |
3. Шар радиусом R, привязанный невесомой нерастяжимой нитью длиной L = 1,5R к стенке, покоится, опираясь об эту вертикальную стенку. При этом нить составляет со стенкой угол α = 30°. При каком минимальном коэффициенте трения между стенкой и шаром это возможно?
Дано: L = 1,5R, α = 30°. |
Решение 
Запишем условия равновесия шара (см. рисунок): Y: T cosα + Fтр – mg = 0; (1) X: N – T sinα = 0; (2) mgR – Td = 0. (3) Последнее уравнение системы представляет собой уравнение моментов сил относительно точки касания шара со стеной K, в этом уравнении d – плечо силы натяжения Т относительно точки K. Выразим из системы уравнений силу трения. Из уравнений (2) и (3) находим T = N / sinα и mg = Td / R = Nd / R sinα.  Максимальное значение силы трения, когда начнётся скольжение шара по стенке, определяется формулой Fтр = μN. Приравнивая правые части формул, получаем выражение для минимального коэффициента трения, при котором шар может оставаться в равновесии  Для расчёта µ необходимо определить величину d из геометрии рисунка. Из прямоугольного Δ АMK: d = AKsinα, где AK = AB + BK = AB + CD. (5) Из Δ АВD: AB = Lcosα = 1,5Rcosα; BD = Lsinα = 1,5Rsinα.  Подставляя в формулу (4), рассчитываем минимальное значение коэффициента трения, при котором шар ещё может оставаться в покое  |
μmin = ? |
4. В изохорическом процессе с идеальным газом давление возрастает в k = 5 раз по сравнению с первоначальным. Во сколько раз изменяется температура этого газа в этом процессе?
Дано: p2 = 5p1, V = const. |
Решение Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева для двух состояний идеального газа: p1V = νRT1; p2V = νRT2. Разделив второе уравнение на первое, получаем T2/T1 = p2/p1 = 5. |
T2/T1 = ? |
5. Какое количество теплоты выделится при охлаждении на Δt = 1°С воды в пруду, имеющем площадь S = 420 м2 и среднюю глубину h = 1,5 м? Удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг · К), плотность воды ρ = 1000 кг/м3.
Дано: Δt = 1°С, S = 420 м2, h = 1,5 м, с = 4200 Дж/(кг · К), ρ = 1000 кг/м3. |
Решение Количество теплоты, выделяющееся при охлаждении воды в пруду, определяется по формуле Q = cmΔt, где масса воды равна m = ρV = ρSh. В результате получаем Q = cρSh Δt = 4200 · 1000 · 420 · 1,5 · 1 = 2,65 · 109 Дж. |
Q = ? |
6. В вершинах квадрата со стороной а = 10 см расположены три отрицательных и один положительный точечные заряды, модули которых одинаковы и равны |q| = 7 нКл. Определите напряжённость электрического поля в центре квадрата.
Дано: а = 10 см, q = 7 нКл. |
Решение 
Модули напряжённости полей, созданных в центре квадрата каждым из зарядов, одинаковы и равны 
где r – половина диагонали квадрата. По теореме Пифагора, 2a2 = r2, откуда Согласно принципу суперпозиции электростатических полей, можно записать E = E1 + E2 + E3 + E4. Направления векторов напряжённости полей, созданных каждым из зарядов в центре квадрата, показаны на рисунке. В силу симметрии задачи E2 + E4 = 0, а векторы E1 и E3 совпадают по направлению. Следовательно, модуль вектора напряжённости результирующего поля в центре квадрата равен 
|
E = ? |
7. Электродвигатель подъёмного крана работает под напряжением U = 380 В и потребляет ток i = 20 А. Каков КПД крана, если груз массой m = 1 т кран равномерно поднимает на высоту h = 19 м за время Δt = 50 с?
Дано: U = 380 В, i = 20 А, m = 1 т, h = 19 м, Δt = 50 с. |
Решение Энергию, потребляемую двигателем подъёмного крана, определяем по закону Джоуля–Ленца: W = iUΔt. Полезная работа, совершаемая при подъёме груза, равна A = mgh. Исходя из сказанного рассчитываем КПД подъёмного крана: 
|
η = ? |
8. Свечу последовательно помещают перпендикулярно главной оптической оси линзы с фокусным расстоянием F = 50 см в двух разных точках, находящихся по одну сторону от линзы. Линейные размеры изображения в обоих случаях оказываются в k = 10 раз больше размеров свечи. Определите расстояние между этими положениями свечи.
Дано: F = 50 см, k = 10. |
Решение В собирающей линзе могут быть получены два изображения предмета с одинаковым увеличением: действительное, если предмет расположен за фокусом линзы, и мнимое, если предмет находится между линзой и её фокусом. Обозначим d – расстояние от предмета до центра линзы, f – расстояние от центра линзы до изображения.
В случае действительного изображения формула тонкой линзы имеет вид Для случая мнимого изображения аналогично можно получить Зная d1 и d2, находим расстояние между двумя положениями свечи:  |
Δd = ? |
Увеличение линзы k = f1/d1, откуда f1 = kd1. Подставляя в формулу тонкой линзы, получаем 
или 
Следовательно, 