Задачи, тесты

Межрегиональная XV физическая олимпиада

Министерство образования и науки (МОиН) РФ считает обучение в заочных физико-математических школах серьёзным резервом повышения уровня знаний учащихся по естественно-научным дисциплинам. Большой практический опыт заочного обучения школьников имеет всероссийская школа математики и физики (ВШМФ) «Авангард», учреждённая МОиН РФ. Её работа ориентирована прежде всего на «среднего» ученика, что позволяет оказывать реальную помощь в учёбе не только одарённым детям, но и школам в целом.

С октября 2009 г. по февраль 2010 г. ВШМФ «Авангард» проводит очередную XV межрегиональную заочную физическую олимпиаду для школьников 7–10-х классов. Основная цель – ознакомление учащихся с задачами олимпиадного уровня и предоставление возможности сравнить свои успехи с успехами ровесников. Обращаемся к директорам школ и учителям физики с просьбой провести олимпиаду в своём учебном учреждении.

Инструкция по проведению

1. Продиктуйте учащимся условия олимпиадных задач, предложите в недельный срок аккуратно оформить решения согласно требованиям и отослать их не позднее 28 февраля 2010 г. по почте в обычных конвертах по адресу: 115446, Москва, а/я 450, ОРГКОМИТЕТ, Ф (номер класса).
2. Участником олимпиады считается школьник, приславший решение хотя бы одной задачи. Следует разъяснить школьникам, что решать все задачи совершенно необязательно.
3. К рассмотрению принимаются только индивидуальные работы.
4. Решения аккуратно оформляются на двойных тетрадных листах в клеточку с отрезанными полями (около 2 см), сшитых книжечкой и пронумерованных. На первом листе указываются Ф.И. учащегося, домашний адрес, номер школы, класс, Ф.И.О. учителя физики. Решение каждой задачи начинается с новой страницы. Последовательность задач соответствует их нумерации в условии.
5. В письмо вкладываются два маркированных конверта с домашним адресом учащегося и обратным адресом ОРГКОМИТЕТА. В первом конверте участнику будет выслано сообщение о регистрации работы, во втором – результаты и решения задач.
6. Победители олимпиады получат дипломы и призы. Все участники независимо от результатов получат подробную информацию о работе заочного отделения школы «Авангард».

Задания XV МФО 2009/2010 уч.г.

7-й класс

7.1. Автомобиль всё время ехал по прямой. Несколько часов он двигался с постоянной скоростью 40 км/ч, затем 1 ч простоял в пробке, после чего ещё 2 ч продолжал движение со скоростью 60 км/ч и прибыл в пункт назначения. Найдите среднюю скорость автомобиля за всё время путешествия. Найдите среднюю скорость за последние 2,5 ч движения.

7.2. Бюст победителя олимпиады по физике отлит из золота и алюминия: голова сделана из золота (плотность 19,3 г/см³), её объём составляет 2/3 общего объёма, остальное – из алюминия (плотность 2,7 г/см³). Утонет ли бюст в озере из жидкой ртути (плотность 13,6 г/см²)?

7.3. Два друга – Егор и Петя – устроили гонки на велосипедах вокруг квартала в дачном посёлке (см. рисунок). Стартовав одновременно из точки В в разные стороны (Егор – вдоль улицы ВА, Петя – вдоль улиц ВС и СА), друзья встретились через 4 мин в точке А и продолжили гонки с постоянными по модулю скоростями, объезжая квартал раз за разом в противоположных направлениях. Через какое минимальное время после этой встречи они снова окажутся вместе в точке А?

7.4. У школьника Андрея есть стеклянная пробирка массой М = 80 г и вместимостью V = 60 мл. Он опустил пробирку в цилиндрический сосуд с водой и постепенно сыпал на дно пробирки песок до тех пор, пока она не погрузилась в воду по горлышко. Затем Андрей измерил массу песка, находившегося в пробирке в этот момент, и она оказалась равной m = 12 г. Внутренний радиус сосуда, в который опущена пробирка, равен R = 5 см. Плотность воды равна ρ_в = 1 г/см³. Определите по этим данным плотность стекла пробирки и вычислите, на сколько поднялся уровень воды в сосуде в результате погружения пробирки в воду.

7.5. В системе, изображённой на рисунке, масса самого правого груза m₄ = 1 кг, а массы всех блоков одинаковы и равны m₀ = 300 г. Система уравновешена и неподвижна. Найдите массы грузов m₁, m₂ и m₃. Массой троса и трением в блоках пренебречь.

 

8-й класс

8.1. Ученик измерил плотность деревянного бруска, покрытого краской, и она оказалась равной ρ = 600 кг/м³. Но на самом деле брусок состоит из двух частей, равных по массе, однако плотность одной в два раза больше плотности другой. Найдите плотности обеих частей бруска. Массой краски можно пренебречь.

8.2. Автомобиль всё время едет по прямой, его скорость за первый час была 40 км/ч. В течение второго часа он «прибавил» и ехал равномерно, и средняя скорость за первые два часа составила 60 км/ч. Потом он снова прибавил скорость, и средняя скорость за первые три часа оказалась 70 км/ч. Найдите среднюю скорость движения на первой и второй половинах пути.

8.3. По прямой реке с постоянной скоростью u = 5 м/с плывёт баржа длиной L = 100 м. На корме баржи стоит матрос. Он начинает ходить по барже от кормы к носу и обратно. Вперёд он идёт с постоянной относительно баржи скоростью υ₁ = 1 м/с, а назад – с постоянной относительно баржи скоростью υ₂ = 2 м/с. Какой путь пройдёт матрос относительно берега реки, если пройдёт по барже туда и обратно n = 10 раз?

8.4. В сосуды, соединённые трубкой с краном, налита вода. Гидростатическое давление в точках А и В равно р_A = 4 кПа и р_B = 1 кПа соответственно, площади поперечного сечения левого и правого сосудов составляют S_A = 3 дм² и S_B = 6 дм² соответственно. Какое гидростатическое давление установится в точках А и В, если открыть кран?

8.5. Палка, стоящая вертикально на горизонтальной площадке, освещаемой солнечным светом, имеет высоту h = 1,2 м и отбрасывает тень длиной L = 0,9 м. Палку начинают медленно наклонять в направлении отбрасываемой ею тени так, что её нижний конец не сдвигается с места. Длина тени при этом до определённого момента увеличивается, а потом начинает уменьшаться. Чему была равна максимальная длина тени от палки?

 

9-й класс

9.1. Два экскурсионных автобуса со школьниками должны были отправиться из Москвы в Санкт-Петербург, но один из автобусов задержался с отправлением. Когда задержавшийся автобус выехал, первый автобус находился на расстоянии s = 20 км от места отправления. За время, за которое задержавшийся автобус проехал s = 20 км, первый автобус проехал s₁ = 16 км. На прохождение расстояния ∆s = 1 км второй автобус затрачивает на ∆t = 12 с меньше, чем первый. На каком расстоянии L от места отправления второй автобус догонит первый? Чему равны скорости автобусов υ₁ и υ₂? Считайте, что пробок на дороге нет, и скорости автобусов не изменяются.

9.2. Малый сосуд удерживают внутри большого так, как показано на рисунке. В дне малого сосуда есть отверстие со втулкой, в которое вставлен цилиндр. Высота цилиндра h = 21 см, он может перемещаться относительно втулки без трения и только по вертикали. В малом сосуде находится вода, в большом – спирт, и при этом цилиндр покоится. На какой глубине d под водой находится верх­нее основание цилиндра? Плотность воды ρ_в = 1000 кг/м³, плотность спирта ρ_с = 790 кг/м³, плотность цилиндра ρ = 600 кг/м³.

9.3. Коробка массой М подвешена на нитке к потолку комнаты. Внутри коробки на лёгкой пружине подвешен груз массой m. Нитку пережигают. Найдите ускорения груза и коробки сразу после пережигания нити. Ускорение свободного падения равно g.

9.4. С поверхности Земли вертикально вверх бросают камень. Упав, он «втыкается» в землю и мгновенно останавливается. Какой может быть начальная скорость этого камня, чтобы за четвёртую секунду после броска его смещение было равно нулю? Ускорение свободного падения принять 10 м/с².

9.5. Резисторы сопротивлениями 200 и 500 Ом соединены параллельно. последовательно с этой цепочкой включили резистор 100 Ом. К выводам получившейся последовательно-параллельной схемы несколько раз подключали разные батарейки. Полный заряд, протёкший через резистор 500 Ом, оказался равным 0,5 Кл. Полное количество теплоты, выделившееся в резисторе 200 Ом, равно 10 Дж. Какой полный заряд протёк через резистор 100 Ом? Какое количество теплоты выделилось в резисторе 100 Ом?

 

10-й класс

10.1. На плоской поверхности нарисован квадрат, длина стороны квадрата 10 м. Вдоль сторон этого квадрата должен пробежать маленький жучок – его мгновенное ускорение не должно превышать ни в какой момент величины 1 см/с². За какое минимальное время он сможет это сделать?

10.2. Если сбросить массивное тело с большой высоты, то из-за сопротивления воздуха оно бóльшую часть пути будет двигаться с постоянной установившейся скоростью. Для пластмассового бильярдного шара эта скорость составляет 100 м/с. Если его сделать из материала с вдвое большей плотностью, то при тех же размерах его скорость увеличится до 140 м/с. Если взять шар из того же материала, что и бильярдный шар, но вдвое большего диаметра, то скорость установившегося движения также составит 140 м/с. Какой станет эта скорость для шара из того же материала, но в 10 раз меньшего диаметра?

10.3. На гладком горизонтальном столе лежит очень жёсткий тонкий стержень длиной 1 м. Четыре одинаковые пружинки прикреплены к стержню: одна к левому краю, две – к правому и одна – к середине. В начальный момент все пружинки перпендикулярны стержню и натянуты, но силы натяжения очень малы. Удлиним «серединную» пружинку, сдвинув точку А (конец этой пружинки) вдоль направления пружинки на 1 см. Найдите натяжения каждой пружинки в растянутом состоянии. Жёсткость пружинки 110 Н/см.

10.4. Моль гелия (одноатомный газ) вначале изотермически расширяется, при этом он получает количество теплоты 1620 Дж, затем его охлаждают при неизменном объёме, отняв у него количество теплоты 1000 Дж. После этого газ адиабатически сжимают до начального состояния. Найдите термодинамический кпд этого цикла.

10.5. В схеме на рисунке батарейки одинаковые, их напряжения по 3 В. Вольтметры взяты тоже одинаковые, сопротивление каждого вольтметра 1 кОм. Какой резистор нужно включить между точками А и В, чтобы ток через этот резистор составлял ровно 1 мА? Какими при этом будут показания вольтметров?

 

Ответы и решения задач XIV МЗФО (2008/2009)^*

7-й класс

1. Мороженое Маши всё время будет окружать воздух, имеющий комнатную температуру, а мороженое Павлика – воздух, охладившийся от воздействия мороженого. Поэтому мороженое Павлика не растает дольше.

2. Средняя скорость автобуса – это отношение пройденного пути к затраченному времени. Так как расстояние от Ясной Поляны до Рязани из-за дождя не изменилось, и время, проведённое школьниками в автобусе, также не изменилось (потому что автобусы въехали в Рязань в точно запланированное время), то средняя скорость совпадает с начальной скоростью υ_ср = 70 км/ч.

Пусть дождь шёл в течение времени t. Тогда путь, пройденный за это время, составил υ₂t. Время, за которое после дождя автобусы проехали оставшееся расстояние, равно s/υ₃. Ясно, что время, затраченное автобусами с момента начала дождя до прибытия в Рязань, должно равняться времени, которое потребовалось бы для преодоления того же расстояния с начальной скоростью υ₁:

Отсюда находим время, в течение которого шёл дождь:

3. Обозначим через х искомую глубину. Сила тяжести, действующая на льдину с медведем, равна, очевидно, g[m + ρ_лS(h + x)]. Она должна равняться силе давления воды на нижнюю поверхность льдины, находящуюся на глубине х, т.е. ρ_вgxS, поскольку льдина находится в состоянии равновесия. Отсюда получаем

4. Легко видеть, что каждый блок, охваченный двумя горизонтальными участками тросов, даёт выигрыш в силе в 2 раза. Значит, три таких блока дадут выигрыш в 2³ = 8 раз. Сила тяжести, действующая на груз, равна ρ_сgV, где V = a²h – объём груза. Значит, сила натяжения толстого троса в 8 раз больше: Т = 8ρ_сgV. Отсюда получаем, что объём стального груза составляет

5. Пусть η – часть объёма снега, занимаемая льдом, S – площадь, на которую давит снег. Тогда снег массой m = ρ_лShη оказывает давление р = mg/S = ρ_лghη. Отсюда η = p/(ρ_лgh) = 0,1. Таким образом, лёд занимает 10% объёма снега.

 

8-й класс

1. Глубина погружения в ртуть уменьшится, т.к. возрастёт выталкивающая сила за счет вытесненной шариком воды.

2. Сделаем рисунок и введём на нём следующие обозначения: K – Константиново; R – Рязань; АВ – участок, который автобус проехал под дождём за искомое время t; АС – участок, который проехал бы автобус за то же время t, если бы не было дождя.

Ясно, что ВС = АС – АВ = (υ₁ – υ₂)t. С другой стороны, автобус прошёл путь KА + АВ + CR за то же время, за какое было запланировано пройти весь путь KR. Значит, ВС = υ₁∆t, где ∆t = 10 мин – время, на которое опоздали автобусы. Приравнивая полученные выражения, имеем: (υ₁ – υ₂)t = υ₁∆t, откуда t = υ₁∆t/(υ₁ – υ₂) = 35 мин.

3. За промежуток времени Т от одного противостояния до другого Марс совершает k оборотов, а Земля (k + 1) оборот (k не обязательно целое!). Этот промежуток времени выражается через периоды обращения Земли и Марса вокруг Солнца Т_З и Т_М следующим образом: Т = (k + 1)Т_З = kТ_М. Отсюда находим

Подставляя численные значения Т_З и Т_М, получаем Т ≈ 779 суток.

4. При отвердевании галлия выделяется теплота кристаллизации, что приводит к нагреванию системы до температуры плавления галлия t_пл = 29,8 °С, поскольку только при этой температуре жидкий и твёрдый галлий будут находиться в равновесии.

Количество теплоты, выделяющееся при отвердевании массы m₁ галлия, равно λm₁. Оно идёт на нагревание всего галлия до температуры плавления. для этого требуется количество теплоты сm(t_пл – t). Следовательно, m₁ = сm(t_пл – t)/λ ≈ 5,1 г.

Заметим, что если бы переохлаждение было очень сильным, то теплоты кристаллизации могло бы не хватить для нагревания всей массы галлия до температуры плавления. Однако, поскольку m₁ < m, то в нашем случае галлий действительно нагреется до этой температуры.

5. При прохождении тока через проволоку в ней выделяется тепло, равное по закону Джоуля–Ленца Q = I²Rτ, где R – сопротивление проволоки, а τ – искомое время таяния льда. Это сопротивление, согласно известной формуле, равно R = ρl/S = 4ρl/(πd²), где l – длина проволоки, S – площадь её поперечного сечения). Это количество теплоты расходуется на плавление льда: Q = λm, а m = ρ_лV = ρ_л(l/4)π(D² – d²).

Приравнивая полученные выражения для количеств теплоты, окончательно получаем:

 

9-й класс

1. Сопротивление охлаждённой части уменьшается, ток в проволоке I = U/R_общ увеличивается, а количество теплоты на неохлаждённой части Q = I²Rt возрастает.

2. Ввиду невесомости блоков и троса и отсутствия трения сила натяжения троса равна F в любой его части. К нижнему блоку приложены три силы F, направленные вверх, и одна сила Р, направленная вниз. Поскольку этот блок находится в равновесии или медленно и равномерно поднимается, то Р = 3F, a F = Р/3.

Можно также решать эту задачу, пользуясь «золотым правилом механики». Нетрудно заметить, что при перемещении нижнего блока вверх на высоту h три вертикальных отрезка троса над нижним блоком укоротятся на ту же величину, так что надо переместить конец троса вниз на расстояние 3h, т.е., проигрывая в расстоянии в 3 раза, мы получаем выигрыш в силе, – она уменьшается тоже в 3 раза, F = Р/3.

3. Пусть V – объём шарика. Натяжение нитей может остаться неизменным только в том случае, если ρ < ρ_в, а сумма силы тяжести и силы Архимеда после заполнения сосуда водой ρ_вgV – ρgV равна по модулю и противоположна по направлению силе тяжести ρgV. Таким образом, ρ_вgV – ρgV = ρgV. Отсюда ρ = ρ_в/2 = 500 кг/м³.

4. Пусть х – высота столба жидкости. Давление у свободной поверхности жидкости равно атмосферному, а на высоте х над этой поверхностью давление в жидкости меньше атмосферного на величину ρgx. Следовательно, разность давлений, оказываемых на поршень сверху и снизу, равна ρgx. Поэтому на поршень действует направленная вниз сила F = ρgxS, пропорциональная смещению поршня х. Школьник, измеряя жёсткость предполагаемой пружины, на самом деле измерил коэффициент пропорциональности k = F/x = ρgS. Отсюда S = k/(ρg) = 0,01 м².

5. Обозначим через m_л начальную массу льда в сосуде, через t – установившуюся в системе температуру, которая, по условию, выше 0 °С. В процессе установления равновесия масса воды m_в отдала количество теплоты c_вm_в(t_в – t). Масса льда mл получила количество теплоты c_лm_л|t_л| на этапе нагревания до 0 °С, затем количество теплоты λm_л при плавлении и, наконец, количество теплоты c_вm_лt при нагревании образовавшейся изо льда воды до установившейся температуры t. Поскольку теплоёмкостью сосуда и теплообменом с окружающей средой можно пренебречь, то из уравнения теплового баланса получаем:

c_вm_в(t_в – t) = c_лm_л|t_л| + λm_л + c_вm_лt.

Определяемая из этого соотношения конечная температура t положительна, если c_вm_вt_в > c_лm_л|t_л| + λm_л. Таким образом, масса льда m_л лежит в интервале

Конечный объём содержимого сосуда связан с массой льда соотношением V = (m_в + m_л)/ρ_в. Отсюда:

Подстановка числовых данных даёт:

0,4 л ≤ V < 0,67 л.

 

10-й класс

1. Если поднести к «чёрному ящику» сбоку внешний магнит, то намагниченность постоянного магнита изменится, и он будет притягиваться к внешнему магниту. катушка из медной проволоки притягиваться к внешнему магниту не будет (медь – немагнитный материал). В качестве внешнего магнита можно использовать второй «чёрный ящик». Следовательно, конец «чёрного ящика» с катушкой будет притягиваться к середине «чёрного ящика» с постоянным магнитом, а конец «чёрного ящика» с постоянным магнитом не будет притягиваться к середине «чёрного ящика» с катушкой.

Другой способ заключается в наблюдении за ящиками в течение длительного времени: «чёрный ящик» с катушкой будет нагреваться, что можно заметить на ощупь. кроме того, со временем ток через катушку и создаваемое им магнитное поле станут меньше из-за разрядки батарейки.

2. Из чертежа видно, что груз массой 3М двигаться не может, поэтому его ускорение равно нулю. Так как блоки и нити невесомы и трение отсутствует, то сила натяжения T₁ верхней нити, перекинутой через верхний блок, постоянна вдоль всей её длины. То же самое справедливо и для силы натяжения T₂ нижней нити, на которой висит нижний блок. Направим координатную ось Х вниз и обозначим ускорение груза массой 2М через а. Тогда груз массой М, двигающийся в противоположном направлении, имеет ускорение –а. Запишем второй закон Ньютона для этих грузов:

–Ma = Mg – T₁ + T₂; 2Ма = 2Mg – T₁ + T₂.

Вычитая первое уравнение из второго, получим 3Ма = Mg. Отсюда а = g/3. Таким образом, груз массой М движется с ускорением g/3 вверх, груз массой 2М – с ускорением g/3 вниз, ускорение груза массой 3М равно нулю.

3. Суммарная масса воздуха внутри бутыли и пакета после перетекания воздуха из бутыли в пакет не изменилась. Следовательно, суммарная сила тяжести, действующая на обе оболочки и воздух внутри них, осталась прежней. Однако изменился суммарный объём, который занимают вместе бутыль и пакет, т.к. после ослабления зажима часть воздуха из бутыли перешла в пакет. Давление в пакете стало равным 1 атм, значит, такое же давление установилось и в бутыли. Воздух, который в бутыли занимал объём 2 л при давлении 2 атм, теперь при давлении 1 атм занимает объём 4 л. Таким образом, в пакете оказалось 2 л воздуха, и суммарный объём увеличился на 2 л. На бутыль и пакет со стороны воздуха действует выталкивающая (архимедова) сила. Приращение этой силы равно

∆F_A = 0,002 м³ · (1,3 кг/м³) · (10 м/с²) = 0,026 Н.

Таким образом, чтобы равновесие весов восстановилось, нужно на ту же чашку, где находятся бутыль и пакет, добавить гирьки суммарной массой М = ∆F_A/g = 2,6 г.

4. Идея решения заключается в том, что при условиях задачи ток через переменный резистор не идёт, и напряжение на нём равно нулю (в противном случае изменение сопротивления этого резистора неизбежно приводило бы к изменению величины R_AB). Отсюда вытекает, что напряжения U₁ и U₃ на резисторах R₁ и R₃ совпадают. Так как

то R₁R₄ = R₂R₃, и сопротивление неизвестного резистора R₃ = R₁R₄/R₂ = 40 Ом.

Сопротивление всей цепи можно найти, пользуясь формулой для параллельного соединения резисторов:

откуда R_AB ≈ 33 Ом.

5. Направим ось X по горизонтали в сторону Солнца, ось Y – вертикально вверх, а начало координат поместим в точку, где сидел кузнечик. Закон движения кузнечика имеет вид:

Координату тени кузнечика на асфальте X(t) можно определить из условия:

Отсюда

Следовательно, движение тени кузнечика на асфальте является равноускоренным с ускорением gctgφ и начальной скоростью υ₀ = υ₀(cosα – sinα ctgφ) = υ₀sin(φ – α)/sinφ. Следовательно, скорость тени в момент времени t равна

---

^* Условия задач см. в № 19/2008. Списки победителей (а их более 300!) см. в электронных приложениях к № 19/2009. – Ред.