Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные экзамены по физике на факультет ВМК

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Окончание. См. № 02, 05, 08, 11, 16, 18/09

IV. Оптика

1 Луч света падает на стеклянный шар вдоль прямой, идущей на расстоянии a от центра шара. На каком расстоянии b от центра шара пройдёт преломлённый луч, если показатель преломления стекла, из которого изготовлен шар, равен n?

Решение

Ход луча изображён на рисунке. Видно, что где R – радиус шара. По закону преломления, sinα = nsinβ.

Ответ. b = a /n.

 

2 Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием f = 10 см и плоского зеркала, расположенного позади линзы на расстоянии b = 25 см от неё перпендикулярно её главной оптической оси. Светящийся предмет находится на расстоянии a = 15 см перед линзой. Определите расстояние D между двумя действительными изображениями предмета, даваемыми этой системой.

Решение

Первое изображение предмета П формируется системой при прохождении лучей через линзу слева направо (см. рисунок). По формуле линзы имеем откуда Поскольку D > b, изображение, даваемое линзой, оказывается позади зеркала. Отражённые от зеркала лучи (например, лучи 1 и 2) образуют действительное изображение И₁, находящееся на расстоянии d₁ = 2b – d справа от линзы. Проходя через линзу справа налево, отражённые от зеркала лучи формируют слева от линзы второе действительное изображение И₂ предмета П. Применяя формулу линзы

Искомое расстояние D = d₁ + d₂. Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

 

3 Оптическая система состоит из двух тонких собирающих линз Л₁ и Л₂ с фокусными расстояниями F₁ = 10 см и F₂ = 20 см соответственно, расположенных так, что их главные оптические оси совпадают, а расстояние между линзами равно сумме их фокусных расстояний. Система формирует изображение предмета высотой l = 1 см, находящегося слева от линзы Л₁ на расстоянии a = 40 см от неё. Найдите величину θ = l′/a′, где l′ – высота изображения, a′ – расстояние от изображения до линзы Л₂.

Решение

Построение изображения предмета в системе линз показано на рисунке. Первая линза даёт действительное изображение, расположенное на расстоянии b позади неё. Применяя формулу линзы

Это изображение находится перед второй линзой на расстоянии b′ = F₁ + F₂ – b от неё. Поскольку b′ < F₂, изображение, даваемое второй линзой, является мнимым. Применяя для этой линзы формулу Из рисунка видно, что Следовательно,

Объединяя записанные выражения, получаем ответ: