Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №9/2010

Абитуриенту

А. А. Коновко,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
проф. В. А. Макаров,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
Н. М. Нагорский,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
И. П. Николаев,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
М. С. Полякова,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва;
С. С. Чесноков,
< sergeychesnokov@mail.ru >, физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва

Физфак МГУ им. М.В. Ломоносова–2009. Дистанционная олимпиада «Шаг в физику».

МГУПродолжение. См. № 7, 8/2010

10-й класс

рис.11. Клин с углом α = 30° при вершине находится на горизонтальном столе. На поверхности клина располагается брусок массой m = 1 кг, к которому привязана невесомая нерастяжимая нить. Второй конец нити перекинут через блок на клине и прикреплён к неподвижной опоре. При этом отрезок нити от опоры до блока горизонтален, а отрезок нити от блока до бруска параллелен поверхности клина. Найдите величину N силы нормального давления бруска на клин, если клин двигают по столу вправо с ускорением a0 = 2 м/с2. Движение всех тел происходит в плоскости рисунка. Трением пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.

Решение

рис.3 Первый способ. Согласно закону сложения ускорений, ускорение a бруска в неподвижной системе отсчёта равно a = a0 + aотн. Относительное ускорение бруска aотн направлено вдоль наклонной поверхности клина вверх и по модулю совпадает с a0. Из рис. а видно, что формула1а вектор a образует с вертикалью угол α/2.

Силы, действующие на брусок в неподвижной системе отсчёта, изображены на рис. б, где mg – сила тяжести, T – сила натяжения нити, N – сила реакции наклонной поверхности клина. Записывая уравнение движения бруска в проекции на ось Y, имеем

формула2

Используя полученное выше выражение для a, а также формулу формула3 получаем ответ:

N = mg cosα + ma0 sinα ≈ 9,7 Н.

рис.3Второй способ. Перейдём в систему отсчёта, связанную с клином. В этой системе брусок движется с ускорением a0 вверх вдоль поверхности клина. Силы, действующие на брусок, изображены на рисунке, где через Fин обозначена сила инерции, равная взятому с обратным знаком произведению массы бруска на ускорение клина: Fин = –ma0. Учитывая, что в подвижной системе отсчёта ускорение бруска перпендикулярно силе реакции поверхности клина, в проекции на ось Y имеем:

N = mg cosα + ma0 sinα.

 

рис.42. Решив самостоятельно изучить законы реактивного движения, ученик собрал установку, изображённую на рисунке. Он установил на тележку металлический сосуд, частично заполнил его водой, герметично закрыл крышкой и начал нагревать с помощью спиртовки. Когда температура воды в сосуде поднялась до t = 100 °C, ученик открыл маленькое отверстие, расположенное в боковой стенке сосуда вблизи его дна. С каким ускорением а тронулась с места тележка? Суммарная масса сосуда, воды и тележки M = 1 кг, высота уровня воды в сосуде h = 5  см, площадь отверстия s = 3 мм2, атмосферное давление p0 = 105 Па, температура окружающего воздуха t0 = 20 °C. Поверхность стола, на котором находится тележка, горизонтальная, твёрдая и ровная, подшипники, на которых установлены колёса тележки, очень хорошие.

Решение

В сосуде под крышкой находятся сухой воздух и насыщенный водяной пар. При температуре t = 100 °C давление насыщенного пара равно атмосферному давлению. Следовательно, давление газовой смеси в сосуде равно p = pв + p0, где pв – парциальное давление сухого воздуха. Пренебрегая давлением водяных паров при температуре t0 = 20 °C, а также изменением свободного от воды объёма в сосуде, связанным с частичным испарением воды и её тепловым расширением, для определения давления сухого воздуха можно использовать закон Шарля, согласно которому формула4 где T = t + 273 °C, T0 = t0 + 273 °C. Таким образом, формула5

Уравнение Бернулли для воды, вытекающей из отверстия в момент его открывания, имеет вид:

формула6

где ρ = 103 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с – ускорение свободного падения, υ – скорость истечения воды из отверстия. Отсюда формула7

Масса воды, вытекшая из отверстия за малое время ∆t после открывания крана, ∆m = ρSυt.

Изменение импульса воды, вытекшей из сосуда за время ∆t, а именно ∆p = ∆m ∙ υ = ρSυ2t,равно изменению импульса тележки и сосуда с оставшейся в нём водой за это же время. Следовательно, реактивная сила, действующая на тележку, формула8

С учётом того, что ∆mM, из второго закона Ньютона следует равенство Ma = F. Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

формула9

 

рис.53. Два горизонтально расположенных цилиндрических сосуда закрыты подвижными поршнями, соединёнными жёстким горизонтальным стержнем. В левом сосуде находится гелий, а в правом – насыщенный водяной пар при температуре 100 ºС. Первоначальные объёмы гелия и пара равны соответственно V1 = 5 л и V2 = 1 л. Какое количество теплоты Q нужно сообщить гелию, чтобы его давление увеличилось в n = 1,2 раза? Температура в правом сосуде поддерживается постоянной. Трением поршней пренебречь.

Решение

До тех пор, пока весь пар в правом сосуде не сконденсируется, его давление будет постоянно и равно p0 = 105 Па. Следовательно, на первом этапе нагревание гелия происходит при постоянном давлении и

формула10

Замечание. Изменение объёма гелия в процессе конденсации пара действительно будет практически совпадать с V2, т. к. масса водяного пара, первоначально содержавшегося в сосуде, равна 0,6 г. Следовательно, объём образовавшейся из пара воды составляет 0,06% от первоначального объёма водяного пара, и по сравнению с V2 им можно пренебречь.

При дальнейшем сообщении теплоты гелию происходит его нагрев при постоянном объёме:

ΔQ2 = (3/2)νRΔT2 = (3/2)(n - 1)p0(V1 + V2);

Q = ΔQ1 + ΔQ2= (5/2)p0V2 + (3/2)(n - 1)p0(V1 + V2);

Q = 430 Дж.

 

рис.64. Электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из конденсатора, резисторов сопротивлениями R1 = 3 Ом и R2 = 2 Ом, источника тока и ключа. Первоначально ключ был разомкнут. Найдите внутреннее сопротивление источника r, если известно, что сила тока через источник сразу после замыкания ключа в n = 2 раза больше установившейся силы тока в цепи.

Решение

Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе равно нулю и скачком измениться не может. Следовательно, в начальный момент ток через резистор R1 не течёт. Поэтому начальный ток в цепи источника формула11 где ЭДС – ЭДС источника. После того как конденсатор зарядится, ток в цепи станет равным формула12

Учитывая, что, по условию, формула13 получаем ответ: формула14

 

рис.75. Электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из пяти одинаковых лампочек, ключа К и предохранителя П, разрывающего цепь при токе, превышающем I0 = 0,1 А. Цепь подключена к сети постоянного тока напряжением U0 = 220 В. При каких значениях номинальной мощности лампочек они светятся в положении ключа 1, а при перебрасывании ключа в положение 2 гаснут вследствие срабатывания предохранителя? Зависимостью сопротивления лампочек от температуры, а также сопротивлением предохранителя пренебречь.

Замечание. Номинальной называется мощность, выделяющаяся в лампочке при подключении её к номинальному напряжению U0.

Решение

Номинальная мощность лампочки формула15, откуда сопротивление лампочки формула16

Когда ключ находится в положении 1, полное сопротивление цепи равно формула17 и ток через предохранитель равен формула18

Поскольку предохранитель в этом случае не срабатывает, I1 < I0. Отсюда находим максимальное значение номинальной мощности лампочки Nmax = (8/3)I0 U0.

Когда ключ находится в положении 2, полное сопротивление цепи равно формула19 и ток через предохранитель равен формула20

Поскольку предохранитель в этом случае срабатывает, I2 > I0. Следовательно, минимальная номинальная мощность лампочки Nmin = (5/2)I0 U0.

Итак, номинальная мощность лампочки лежит в пределах

(5/2)I0 U0 < N < (8/3)I0 U0, т. е. 55 Вт < N < 58,7 Вт.

рис.0

Продолжение следует