С.Е.МУРАВЬЁВ (МИФИ, г. Москва)

Олимпиада по физике
памяти И.В.Савельева
в Московском инженерно-физическом институте

17 декабря 2006 г. в Московском инженерно-физическом институте (МИФИ) проходила традиционная олимпиада по физике памяти профессора Игоря Владимировича Савельева. И.В.Савельев в течение многих лет был заведующим кафедрой общей физики МИФИ, он является автором ряда классических учебников и задачников для студентов-физиков. Эти книги используются в качестве основного учебника в российских технических вузах, переведены на многие иностранные языки и являются настольными книгами молодых физиков во всем мире.

Олимпиада памяти И.В.Савельева традиционно проводится в середине декабря в МИФИ. Эта олимпиада является одним из туров Всероссийской физико-математической олимпиады Федерального агентства по атомной энергии (Росатома), которая проводится в несколько туров в течение всего учебного года в Москве (в МИФИ) и ряде крупных центров Росатома (г. Саров, г. Снежинск и др.) для школьников 11-х классов. Победители и призёры олимпиады Росатома (около 10% участников) получают существенные льготы при зачислении в МИФИ. Подробности об олимпиаде Росатома 2007/2008 уч.г. можно узнать по телефону приёмной комиссии МИФИ: (495) 324-84-17 и на сайте приёмной комиссии МИФИ: http://www.priem.mephi.ru.

На олимпиаде памяти И.В.Савельева в 2006 г. школьникам были предложены пять задач различной степени сложности. Ниже приводится вариант задания олимпиады и его подробное решение.

Вариант задания олимпиады

1. Ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты равно g = 16 м/с2, на высоте h = 1000 км от поверхности – g1 = 9 м/с2. Найдите радиус планеты.

Решение

Основная идея решения задачи заключается в том, что ускорение свободного падения на той или иной высоте определяется силой гравитационного притяжения тела к планете. Используя закон всемирного тяготения, получаем для ускорения свободного падания на поверхности планеты и на высоте h от поверхности

где G – гравитационная постоянная, M и R – масса и радиус планеты. Деля первое уравнение на второе и решая полученное уравнение, находим:

2. Из точки, находящейся на высоте H над землёй, через равные промежутки времени из состояния покоя падают маленькие шарики. К тому моменту, когда седьмой шарик начинает падение, первый падает на землю. Найдите расстояние между вторым и четвертым шариками в этот момент. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Р—Р° то время, РїРѕРєР° первый шарик долетит РґРѕ земли, начинают падать ещё шесть шариков (СЃРј. СЂРёСЃСѓРЅРѕРє). Следовательно, время падения первого шарика РЅР° землю равно шести интервалам t между падениями любых РґРІСѓС… соседних. Поэтому интервал t можно найти, разделив время падения первого шарика РЅР° шесть. Рђ поскольку время СЃРІРѕР±РѕРґРЅРѕРіРѕ падения тела РёР· состояния РїРѕРєРѕСЏ СЃ высоты H составляет   то

     (1)

Теперь найдём координаты второго и четвертого шариков в момент падения первого на землю. Для этого заметим, что зависимость координаты х каждого шарика от времени (ось X показана на рисунке) имеет вид

     (2)

где время t отсчитывается от момента начала падения этого шарика, и что второй шарик будет двигаться к моменту падения первого шарика на землю в течение пяти интервалов t (1), а четвертый – в течение трёх (см. рисунок). Подставляя эти значения времени в зависимость (2) и используя формулу (1), получаем координаты второго и четвёртого шариков в момент падения первого на землю:

Вычитая теперь координату четвёртого шарика (4) из координаты второго (3), находим расстояние между вторым и четвёртым шариками в момент падения первого на землю:

3. В сосуде объёмом V0 при температуре T0 и давлении p0 находился воздух, содержащий некоторое количество озона O3. С течением времени озон полностью превратился в молекулярный кислород. Получившийся воздух при температуре T и объёме V оказывает то же самое давление p0, что и первоначальная смесь газов. Найдите первоначальное число молей озона в сосуде.

Решение

Пусть первоначально в сосуде содержалось молей озона и 1 молей всех остальных газов. Тогда закон Дальтона для первоначальной смеси газов даёт

     (5)

где R – универсальная газовая постоянная. Поскольку при химической реакции распада озона

2O3 = 3O2,      (6)

из каждых двух молекул озона образуются три молекулы кислорода, то из молей озона получается 3/2 молей кислорода. Поэтому закон Дальтона для смеси газов после полного распада озона при новых температуре и объёме даёт

        (7)

Вычитая из формулы (7) формулу (5) и решая полученное уравнение, находим:

_____________________________________

Сергей Евгеньевич Муравьёв, заместитель заведующего кафедрой теоретической физики МИФИ, к.ф.-м.н., доцент.

Окончание cм. в № 6/08